Помощник
2. Кривые Безье
Определение кубической кривой Безье:
Пусть даны три точки P0, P1, P2, P3, тогда кривая Безье, построенная по этим трём точкам - это множество точек, получаемые подстановкой 0 ≤ t ≤ 1 в следующую функцию:
(1 - t)3 P0 + 3(1 - t)2t P1 + 3(1 - t)t2 P2 + t3 P3
Оказывается кривые Безье обладают свойством: их можно разбить на две меньшие кривые Безье, подставив t = 0.5 (точка разбиения).
(А именно, кривые c точками A0, A1, A2, A3 и B0, B1, B2, B3, где
A0 = P0; A1 = P0/2 + P1/2; A2 = P0/4 + 2*P1/4 + P2/4; A3 = P0/8 + 3*P1/8 + 3*P2/8 + P3/8, аналогично для Bi.
Предлагается показать, что
(1 - t)3 P0 + 3(1 - t)2t P1 + 3(1 - t)t2 P2 + t3 P3 при 0 ≤ t ≤ 0.5 то же и самое, что и
(1 - t)3 P0 + 3(1 - t)2t (P0 + P1)/2 + 3(1 - t)t2 (P0 + 2*P1 + P2)/4 + t3 (P0 + 3*P1 + 3*P2 + P3)/8 при 0 ≤ t ≤ 1. Для этого можно показать, что
(1 - 2t)3 P0 + 3(1 - 2t)22t (P0 + P1)/2 + 3(1 - 2t)(2t)2 (P0 + 2*P1 + P2)/4 + (2t)3 (P0 + 3*P1 + 3*P2 + P3)/8) при 0 ≤ t ≤ 0.5 (случилась замена переменных с t на 2t) равно (1 - t)3 P0 + 3(1 - t)2t P1 + 3(1 - t)t2 P2 + t3 P3 при 0 ≤ t ≤ 0.5 )
Таким образом, отрисовку кривой Безье можно свести к отрисовке двух меньших кривых Безье (которые, в свою очередь, можно свести к отрисовке четырёх ещё меньших и т.д.), а при достаточно близких точках допустимо нарисовать 3 отрезка, проходящие через точки построения.