В давние времена Золотая Орда ежегодно собирала дань золотыми монетами. Известный крымский хан Гирей решил схитрить: выплачивая дань из N золотых монет, он подложил среди них одну фальшивую – более легкую монету. Об этом донесли казначею Золотой Орды. Для обнаружения подделки он решил использовать магические весы, работающие на урюке. На чаши магических весов кладутся две кучи монет. Весы устанавливают, совпадает или различается вес этих куч. При этом, если кучи имеют разный вес, то весы указывают, какая из куч легче. При совпадении веса обеих куч весы требуют R плодов урюка, а при несовпадении – U плодов. Казначей, сам любитель урюка, хочет и фальшивую монету обнаружить, и сэкономить на урюке. Требуется написать программу, которая по заданному количеству монет N, при условии, что только одна из них легче других, укажет минимальное количество урюка, с помощью которого эта фальшивая монета гарантированно будет обнаружена.

Как известно, в 2012 году человечество с повышенным вниманием относится к древним календарям. Особый интерес представляют те из них, которые не заканчиваются 2012 годом. Потрясающее открытие в этом направлении сделано археологами Татарстана. В древних захоронениях oни обнаружили прямоугольную табличку, которая после расшифровки сохранившихся знаков была записана в виде таблицы, состоящей из N строк по M десятичных цифр в каждой. Но полностью расшифровать табличку не удалось, так как некоторые цифры стерлись. Утраченные цифры в таблице были заменены символами «*». По мнению археологов, найденная табличка представляет собой древний календарь, а записанные в ней M-значные числа являются номерами последовательных дней некоторого периода. Первое число является номером первого дня этого периода, а каждое следующее число на единицу больше предыдущего. По этому календарю конец света отсутствует, и после дня, обозначаемого с помощью M девяток, следует номер дня из M нулей. Требуется написать программу, которая восстанавливает утраченные цифры так, чтобы число в каждой строке таблицы, начиная со второй, было на единицу больше предыдущего, и выводит номер первого дня в найденном календаре.

Все элементы магнитной мозаики фирмы «ABBYY» имеют прямоугольную форму. Два элемента можно соединить только в том случае, если у них совпадает хотя бы один из размеров: длина, ширина, или и то, и другое. Магнитные элементы поворачивать и переворачивать нельзя. Пару элементов мозаики, которые нельзя соединить, назовем негармоничной. Например, пара 1 × 2 и 2 × 3 является негармоничной, а пары 2 × 3 и 1 × 3 или 2 × 3 и 2 × 3 являются гармоничными. Дизайнеры «ABBYY» выложили все элементы мозаики в ряд, не соединяя их между собой. Назовем набором несколько подряд лежащих элементов мозаики в этом ряду. Они выбрали несколько наборов элементов, которые хотят оставить для создания инсталляции. Для каждого такого набора им нужно выяснить, есть ли в нем негармоничная пара элементов. Требуется написать программу, которая для различных наборов подряд лежащих элементов мозаики определит номера элементов, образующих негармоничную пару, или сообщит, что такой пары нет.

Участники олимпиады пришли в казанский театр на спектакль, где играют N неизвестных для них актеров. В фойе театра висят портреты всех актеров труппы, которая в полном составе задействована в спектакле. Портреты не подписаны. Зрителям раздали программки, в которых для каждого действия спектакля приводится список фамилий участвующих в нем актеров, но не указаны их роли. Театрал Виталий решил узнать, как выглядит каждый из актеров, упомянутых в программке. Для этого в антракте после каждого действия он выходил в фойе и сопоставлял портреты с увиденными актерами. Требуется написать программу, которая по заданному числу актеров N и списку фамилий актеров, участвующих в каждом из M действий, определяет номер действия, после которого впервые становится возможным установить соответствие между фамилией актера из программки и его портретом.

Готовясь к бою, хан Гирей пронумеровал всех воинов своего войска натуральными числами от 1 до N. Поскольку воины умеют сражаться, но не умеют считать, при любом построении в шеренгу они выстраиваются в произвольном порядке. Одного или несколько воинов, стоящих в шеренге, будем называть отрядом. Отряд назовем правильным, если номера этих воинов в том порядке, в котором они стоят в шеренге, образуют упорядоченную по возрастанию последовательность чисел. Среди всех правильных отрядов хан Гирей выбирает ударный отряд – самый большой по количеству воинов. Так, в шеренге 1 3 2 4 из четырех воинов ударными являются отряды 1 3 4 и 1 2 4, а отряд 1 4 – один из правильных, но не ударный. Некоторые воины являются личными телохранителями хана Гирея. Требуется составить программу, определяющую количество таких шеренг, в которых телохранители хана образуют ударный отряд.