Сегодня Леша проходил в школе деление столбиком. На дом ему задали вычислить частное двух больших чисел: \(n\) и \(m\). Леша уже попробовал решить пример, но, неожиданно для себя, понял, что \(n\) на \(m\) не делится. Он уверен, что учитель задавал пример, в котором результат не имеет остатка, поэтому он предположил, что допустил ошибку при переписывании примера с доски.

Теперь он хочет исправить несколько цифр в числе \(n\), чтобы оно стало делиться на \(m\). При этом, Леша хочет, чтобы новое число отличалось от записанного у него в минимальном количестве позиций.

Числа, записанные Лешей, не имеют ведущих нулей, он уверен, что числа, записанные на доске, также не имели ведущих нулей, поэтому и в новом числе их не должно быть. Само число 0 при этом является допустимым.

Помогите Леше.

Вася очень силен в подсчёте ворон за окном на уроках математики. Сегодня выдался необычный день, ведь ворон было очень много. К тому же, их было целых два вида: белые и чёрные. К середине урока Вася закончил подсчёт — за окном оказалось \(a\) белых и \(b\) чёрных ворон.

Поскольку до конца урока было невыносимо много времени, Вася решил послушать, что говорит учитель. Как раз в этот момент учитель рассказывал, что такое наибольший общий делитель двух чисел. Вася очень талантливый мальчик и сразу понял, что к чему. Он моментально посчитал наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\).

После этого он придумал новый термин — милый общий делитель. Милым общим делителем чисел \(x\) и \(y\) Вася решил назвать такое положительное целое число \(d\), что \(x\) делится на \(d\), \(y\) делится на \(d\), а сумма цифр числа \(d\) максимальна.

Помогите Васе найти милый общий делитель чисел \(a\) и \(b\).

Компания «Филипп индастриз» отправила на Марс новый робот-марсоход. Целью робота является исследование поверхности Марса.

Для исследования Марса робот будет перемещаться по поверхности планеты на север и на юг вдоль прямой. Программа робота состоит из \(n\) команд, каждая из которых описывается целым числом \(a_i\) . Каждое число \(a_i\) задаёт количество шагов, которое необходимо сделать роботу. Если \(a_i \ > \ 0\), то робот совершает \(|a_i |\) шагов на север, если \(a_i \ < \ 0\), то \(|a_i |\) шагов на юг. Робот исполняет команды последовательно, начиная с первой.

Однако по пути на Марс робот подвергся космическому излучению и его программа могла повредиться. Запустив процедуру тестирования памяти, ученые выяснили, что в программу было внесено от \(0\) до \(k\) ошибок следующего вида: число \(a_i\) оказалось заменено на \(−a_i\) . Тем не менее, приземлившись на Марс, робот выполнил свою, возможно поврежденную, программу.

Теперь для организации спасения робота ученые хотят выяснить, насколько далеко от точки, в которой он начал выполнение программы, робот мог оказаться в результате. Помогите им это выяснить.

Каждый год в честь дня города в Южно-Берляндске проводится открытая эстафета. В конкурсе участвуют команды из \(k\) человек, в процессе эстафеты участники команды должна посетить \(n\) контрольных пунктов.

Контрольные пункты пронумерованы от \(1\) до \(n\), место старта обозначим как пункт \(0\). Соревнование проходит следующим образом: первый участник из команды стартует из пункта \(0\), пробегает по некоторым \(a_1\) ранее не посещенным контрольным пунктам, возвращается в пункт \(0\) и передает эстафету второму участнику. После этого второй участник пробегает какие-либо \(a_2\) ранее не посещенных контрольных пунктов, возвращается и передает эстафету следующему. Эстафета продолжается, пока последний участник не посетит \(a_k\) ранее не посещенных контрольных пунктов и не вернется на старт. Передача эстафеты происходит мгновенно. Цель команды — пробежать эстафету как можно быстрее.

Учащиеся Южно-Берляндского бегового училища решили заранее подготовиться к состязанию. Они раздобыли план соревнования, из которого они узнали числа \(a_i\), а также выяснили про каждую пару пунктов, за какое время можно успеть добежать от одного до другого. Все участники команды перемещаются с одинаковой скоростью, поэтому это время не зависит от того, кто побежит между этими пунктами.

Помогите участникам составить маршрут, в котором команда пробежит эстафету как можно быстрее.

Лера часто ездит по работе из Санкт-Петербурга в Москву и обратно. Так как дела у нее всегда срочные, добирается до места назначения она всегда на Сапсане. Как известно, в каждом вагоне Сапсана расположено ровно \(n\) мест, а именно \(\frac{n}{2}\) рядов по два места в каждом (\(n\) четное).

Однажды по пути домой после деловой встречи у Леры не было соседа, и ей стало скучно. Поэтому она задалась вопросом: сколько максимум человек можно посадить в вагон Сапсана, чтобы ровно у половины людей был сосед. Помогите Лере ответить на этот сложный вопрос.