#3625

Косинус

Темы: [Вещественные числа] [Python]

По данному целому числу n и действительному числу x вычислите сумму \( 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)

Операцией возведения в степень и функцией factorial пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n).

Входные данные

Вводится натуральное число n и действительное число x.

Выходные данные

Выведите ответ на задачу.

Примечание

Этот ряд сходится к \(\cos x\) при росте \(n\) (углы измеряются в радианах).

Примеры

Входные данные

2
0.1

Выходные данные

0.995004

Входные данные

10
0

Выходные данные

Входные данные

50
3.14159

Выходные данные

-1

#3626

Сумма с корнями

Темы: [Вещественные числа] [Python]

По данным натуральным числам n и a вычислите сумму

\[ \sqrt{a + \sqrt{2a + ... + \sqrt{ (n-1)a + \sqrt{na}} } } \]

Входные данные

Вводятся два натуральных числа.

Выходные данные

Выведите ответ на задачу.

Примеры

Входные данные

3
2

Выходные данные

2.13063

#3627

Схема Горнера

Темы: [Вещественные числа] [Python]

Дан многочлен \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) и число \(x\). Вычислите значение этого многочлена, воспользовавшись схемой Горнера:

\[ P(x)= \left( ... \left( \left( \left( a_n x + a_{n-1} \right) x + a_{n-2} \right) x + a_{n-3} \right) ... \right) x + a_{0} \]

Входные данные

Сначала программе подается на вход целое неотрицательное число \(n\le20\), затем действительное число \(x\), затем следует \(n+1\) вещественное число — коэффициенты многочлена от старшего к младшему.

Выходные данные

Программа должна вывести значение многочлена.

Примечание

При решении этой задачи нелья использовать массивы и операцию возведения в степень. Программа должна иметь сложность O(n).

Примеры

Входные данные

Выходные данные

Входные данные

Выходные данные

1.75

#3628

Система линейных уравнений - 1

Темы: [Вещественные числа] [Python]

Даны вещественные числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\). Известно, что система линейных уравнений

\[ \cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.} \]

имеет ровно одно решение. Выведите два числа \(x\) и \(y\), являющиеся решением этой системы.

Входные данные

Вводятся шесть чисел - коэффициенты уравнений системы.

Выходные данные

Выведите ответ на задачу.

Примеры

Входные данные

Выходные данные

3 3

#3629

Система линейных уравнений - 2

Темы: [Вещественные числа] [Python]

Даны числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\). Решите систему линейных уравнений

\[ \cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.} \]

Входные данные

Вводятся 6 чисел - коэффициенты уравнений.

Выходные данные

Вывод программы зависит от вида решения этой системы.

Если система не имеет решений, то программа должна вывести единственное число 0.

Если система имеет бесконечно много решений, каждое из которых имеет вид \(y=kx+b\), то программа должна вывести число 1, а затем значения \(k\) и \(b\).

Если система имеет единственное решение \((x_0,y_0)\), то программа должна вывести число 2, а затем значения \(x_0\) и \(y_0\).

Если система имеет бесконечно много решений вида \(x=x_0\), \(y\) — любое, то программа должна вывести число 3, а затем значение \(x_0\).

Если система имеет бесконечно много решений вида \(y=y_0\), \(x\) — любое, то программа должна вывести число 4, а затем значение \(y_0\).

Если любая пара чисел \((x,y)\) является решением, то программа должна вывести число 5.

Примеры

Входные данные

Выходные данные

2 3 3

Входные данные

Выходные данные

1 -1 1

Входные данные

Выходные данные

4 0.5