ВКОШП: 2014/15

Шахматный аналитик Миша занимается исследованием перемещений произвольных шахматных фигур по доскам произвольного размера. Вот несколько определений из его последней монографии.

Обобщенной шахматной доской \(m \times n\) будем называть прямоугольную доску, которая имеет \(m\) столбцов и \(n\) рядов. Клетка обобщенной доски задается парой целых чисел \((c, r)\), где \(c\) изменяется от 1 до \(m\) и задает номер столбца, а \(r\) от 1 до \(n\) и задает номер ряда.

Обобщенный конь - это вымышленная шахматная фигура, задаваемая конечным множеством возможных ходов, где каждый ход - это пара целых чисел. Если пара \((x, y)\) входит в множество возможных ходов, то своим ходом обобщенный конь может переместиться из клетки с координатами \((c, r)\) в клетку с координатами \((c + x, r + y)\), если эта клетка принадлежит доске. Например, обычный шахматный конь — это не что иное, как обобщенный конь, задаваемый множеством \({(2, 1),(1, 2),(−1, 2),(−2, 1),(−2, −1),(−1, −2),(1, −2),(2, −1)}.\)

Будем говорить, что обобщенный конь прекрасно перемещается по прямоугольной доске \(m \times n\), если из любой клетки этой доски до любой другой он может добраться, не выходя за границы доски. Например, обычный шахматный конь прекрасно перемещается по доске \(8 \times 8\).

Недавно Миша выбрал числа \(a, b, c\) и \(d\) и сформулировал гипотезу: «если обобщенный конь прекрасно перемещается по доске \(a \times b\), то он прекрасно перемещается по доске \(c \times d\)». Помогите определить, верна ли эта гипотеза для заданных \(a, b, c\) и \(d\), и если нет, то приведите пример обобщенного коня, который является для нее контрпримером.