Задача №115126. Необычный массив
Участникам, использующим язык Python3 , рекомендуется отправлять решения на проверку с использованием интерпретатора PyPy3 .
У Васи есть массив, состоящий из \(n\) чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Для каждой позиции \(i\) и для каждого подотрезка массива \([l, r]\), который содержит позицию \(i\) (то есть, \(1 \le l \le i \le r \le n\)), Вася вычисляет значение \(c_{i, l, r}\) следующим образом. Вася выписывает на листочек числа из массива с позиции \(l\) до позицию \(r\), всего \(len=r-l+1\) чисел (среди которых обязательно есть \(a_i\)), и сортирует выписанные числа по возрастанию. После чего Вася находит, на какой позиции \(j\) в полученном отсортированном массиве стоит число \(a_i\). Если таких позиций несколько, то среди них он выбирает ту, которая максимизирует расстояние от середины массива — позиции \(mid = \lceil (len+1) / 2 \rceil\) (\(len / 2 + 1\) в случае четного \(len\) и \((len+1)/2\) в случае нечетного \(len\)). Полученное расстояние \(|j - mid|\) и есть искомая величина \(c_{i,l,r}\).
Например, если у Васи был массив \(a=\{5,1,3,2,1,7\}\), а \(i=2\), \(l=2\), \(r=5\), то Вася выпишет на листочек числа \(\{1,3,2,1\}\), отсортирует их и получит массив \(\{1,1,2,3\}\), длина которого равна 4. Середина этого массива находится на позиции \(4/2+1=3\), а искомое число \(a_i=1\) стоит в этом массиве на позициях 1 и 2. Среди этих двух позиций Вася выбирает ту, которая дальше от середины, то есть, позицию 1. Искомая разность между позициями равна 2, и это и есть значение \(c_{2,2,5}\).
Для каждой позиции \(i\) Вася вычисляет величину \(b_i\), которая равна максимуму среди значений \(c_{i,l,r}\) среди всех подотрезков, содержащих позицию \(i\).
Как вы видите, определение числа \(b_i\) достаточно сложное. Помогите Васе вычислить значения \(b_i\) для всех позиций массива.
В первой строке входных данных находится одно целое число \(n\) (\(1 \le n \le 200\,000\)) — размер массива Васи.
Во второй строке находится \(n\) целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (\(1 \le a_i \le n\)) — элементы массива.
В единственной строке выведите \(n\) чисел, \(i\)-е из них должно быть равно \(b_i\).
Разберем подробнее первый пример.
-
Для первой позиции Вася рассмотрит все подотрезки, содержащие эту позицию, в частности, подотрезок \([1,5]\), где \(l=1\) и \(r=5\). Для вычисления \(c_{i,l,r}=c_{1,1,5}\) Вася выпишет числа \(\{5, 4, 3, 2, 1\}\) и после сортировки получит \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Середина этого массива находится на позиции 3, а искомое число \(a_1=5\) — на позиции 5. Таким образом, \(c_{1,1,5}=2\). Нетрудно заметить, что это число — максимальное среди всех подотрезков, содержащих позицию 1, а значит, \(b_1=2\).
-
\(b_2=c_{2,2,4}\).
-
\(b_3=c_{3,3,5}\).
-
\(b_4=c_{4,1,4}\). Действительно, если выписать числа на подотрезке \([1,4]\), то получится массив \(\{5,4,3,2\}\), который после сортировки превратится в \(\{2,3,4,5\}\). Середина этого массива находится на позиции \(3\), а искомый элемент \(a_4=2\) — на позиции 1. Таким образом, \(c_{4,1,4}=2\).
-
\(b_5=c_{5,1,5}\).
Тесты к этой задаче состоят из семи групп. Баллы за каждую группу ставятся только при прохождении всех тестов группы и всех тестов необходимых групп.
| Дополнительные ограничения | |||||
| Группа | Баллы | \(n\) | \(a_i\) | Необх. группы | Комментарий |
| 0 | 0 | – | – | – | Тесты из условия. |
| 1 | 11 | \(n \le 50\) | – | 0 | |
| 2 | 12 | \(n \le 1000\) | – | 0, 1 | |
| 3 | 23 | \(n \le 5000\) | – | 0, 1, 2 | |
| 4 | 17 | \(n \le 50000\) | \(a_i \le 10\) | 0 | |
| 5 | 10 | \(n \le 50000\) | – | – | Все \(a_i\) различны |
| 6 | 13 | \(n \le 50000\) | – | 0, 1, 2, 3, 4, 5 | |
| 7 | 14 | – | – | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 | |
5 5 4 3 2 1
2 1 1 2 2
7 3 6 5 6 2 1 3
2 3 1 3 2 3 1