Разбор добавил Виталий Павленко

Достаточно проверить граф на связность, а потом найти в нём эйлеров цикл. Затем номера вершин в эйлеровом цикле заменить на соответствующие ворота.
Приведу алгоритм поиска эйлерова цикла из лекций Е. В. Андреевой:

v:=произвольная вершина графа, обычно первая;
STACK <= v;{вершина заносится в стек}
while (STACK не пуст) do 
begin     
  v := верхний элемент стека STACK;
  if (в графе еще есть вершины,
      связанные с v) then
    begin 
      u := любая вершина, связанная с v;
      STACK <= u;
      удаляем ребро {v,u} из графа;
    end
  else
    begin
      v <= STACK;{вершина удаляется из стека}
      RES <= v{вершина заносится в результат}
    end
end;