Разбор добавил Александр Чистяков

В треугольнике центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
Пускай в треугольнике ABC биссектрисы AM и BN пересекаются в точке O.
Рассмотрим два способа нахождения этой точки:

1)С использованием свойств биссектрисы:
1.1) В треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам, то есть BM/AB = (BC-BM)/AC, следовательно BM = BC*AB/(AC+AB).
Длины AB, AC, BC можно найти по теореме Пифагора, а направление вектора BC мы знаем, следовательно
координаты точки M можно найти от точки B вектор длины BM, сонаправленный с BC.
1.2) Биссектриса BN треугольника ABC также являетсяя биссектрисой BO треугольника ABM, а находить
координаты точки основания биссектрисы мы уже умеем по первому пункту, следовательно, продублировав
вышенаписанные формулы для треугольника ABM мы найдём координаты точки O.

2) С использованием векторного построения биссектрисы:
2.1) Пускай у нас имеется угол PQR и мы хотим найти уравнение прямой, содержащей биссектрису этого
угла. Построим вектор QP' длины QR и сонаправленный с QP, тогда отложив от точки Q сумму векторов QR и
QP' получим координаты ещё какой-то точки, принадлежащей искомой биссектрисе. Через две различные
точки можно провести ровно одну прямую, поэтому, зная координаты этих точек мы можем определить
уравнение искомой прямой.
2.2) Найдя уравнения прямых AM и BN, мы можем однозначно определить координаты точки пересечения
(точки O).

Радиус искомой окружности тоже можно найти двумя способами:
1)Используя уравнение расстояния от точки P(x0,y0) до прямой L(A,B,C):
Dist = abs(A*x0 + B*y0 + C)/sqrt(A*A+B*B)

2)Зная, что радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру.
Площадь можно вычислить через формулу Герона или косое произведение векторов.