Фирма, в которой работает ваш друг, решила воспользоваться удобным моментом и купила компанию, занимающуюся пригородными автобусными пассажирскими перевозками. Таким образом, фирма вашего друга расширяет область деятельности и будет теперь обслуживать и некоторые внутриобластные автобусные маршруты.

Сейчас руководство фирмы, и в том числе ваш друг, заняты оптимизацией работы этих маршрутов. Одна из основных проблем, которые были обнаружены, состоит в том, что большинство автобусов, использующихся там, очень старые и изношенные, и поэтому часто выходят из строя. В целях улучшения ситуации было принято решение о создании сети ремонтных подстанций, которые будут располагаться в некоторых населённых пунктах области и обслуживать другие близлежащие населённые пункты.

Система дорог в области устроена следующим простым образом. Есть \(N\) населённых пунктов, некоторые из которых соединены дорогами. Между каждой парой пунктов существует не более одной дороги, и более того, для каждой пары населённых пунктов есть ровно один способ добраться из одного в другой (возможно, через промежуточные посёлки).

В каждом населённом пункте можно разместить ремонтную подстанцию. В принципе, фирма может размещать как крупные подстанции, которые даже в одиночку смогут обслуживать всю область, но при этом будут требовать больших расходов на содержание, так и небольшие станции, которые будут обслуживать лишь прилегающие населённые пункты, но при этом будут обходиться намного дешевле. Фирма уже определила, что каждую подстанцию можно характеризовать параметром “мощность”, которая может принимать значения, являющиеся целыми положительными числами (равна нулю мощность быть не может). Подстанция с мощностью \(k\) будет обслуживать населённый пункт u, в котором она расположена, и все другие населённые пункты, до которых можно добраться из u, использовав не более k дорог (т.е. при \(k\)=1, например, подстанция обслуживает свой населённый пункт и все, которые напрямую соединены с ним дорогой). Стоимость содержания такой подстанции пропорциональна её мощности.

Теперь перед руководством фирмы и, в частности, вашим другом, стоит задача придумать схему расположения подстанций в населённых пунктах области так, чтобы, во-первых, каждый населённый пункт обслуживался хотя бы одной подстанцией, а во-вторых, суммарная мощность созданных подстанций была минимальна.

Как показывает статистика, автобусы намного реже ломаются на дорогах, чем внутри населённых пунктов, где они вынуждены часто изменять скорость, останавливаться, трогаться с места, заводить двигатель и т.д., поэтому не важно, все ли дороги обслуживаются — главное, чтобы обслуживались все населённые пункты.

Сеть компьютерных салонов «ХТТП» представлена в городе Н. двумя магазинами. Руководство Н-ского отделения сети решило реорганизовать витрины, на которых представлены ноутбуки. В каждом из двух магазинов на витрине должны быть представлены \(N\) моделей ноутбуков, выставленные в ряд от касс вглубь помещения магазина. Маркетологи каждого из магазинов уже определили порядок, в котором на витрине должны быть расположены эти модели (эти порядки в двух магазинах, конечно же, могут быть разными).

На витрины надо выставлять специальные, выставочные, образцы ноутбуков, с соответствующим программным обеспечением, показывающим рекламу, и т.д. В распоряжении администрации компьютерных салонов есть две версии специализированного ПО: работающие под управлением операционных систем Windows и Linux. Соответственно, каждый из выставочных образцов ноутбуков должен иметь предустановленной ровно одну из этих систем.

Для снижения затрат было принято решение закупить по два идентичных экземпляра каждой модели ноутбуков (т.е. с одинаковыми предустановленными операционными системами), отправить по одному экземпляру в каждый из магазинов сети, и расставить их на витрине в соответствии с порядком, определенным маркетологами того магазина.

Но при этом возникла проблема. По требованиям Федеральной антимонопольной службы, компьютерные салоны не должны предоставлять преимущества ни одной из операционных систем. Начальство сети «ХТТП» знает, как проходит проверка на соответствие этой норме законодательства. Инспектор антимонопольной службы идет по магазину начиная от касс вдоль витрины с ноутбуками, считает отдельно количество встреченных ноутбуков с Windows и Linux, а также модуль разности этих чисел (т.е. на сколько ноутбуков с одной системой он встретил больше, чем ноутбуков с другой системой). В некоторый момент он останавливается и говорит: «Ага!». Это значит: слишком у вас большой дисбаланс между операционными системами, поэтому платите штраф. Размер штрафа пропорционален разнице (взятой по модулю) количества ноутбуков с разными системами, которые увидел инспектор.

Естественно, руководство сети не в состоянии предсказать, в какой из магазинов пойдет инспектор, а также сколько ноутбуков он просмотрит. Тем не менее, они хотят минимизировать штраф, который им будет выписан в худшем случае. Помогите им.

Например, пусть \(N=5\): в магазинах должны быть выставлены пять моделей ноутбуков. Будем нумеровать модели ноутбуков от 1 до 5. Пусть в первом магазине маркетологи определили, что оптимальный порядок ноутбуков следующий (от касс вглубь зала):

2 4 1 3 5,

а во втором магазине —

3 1 2 5 4.

Тогда, если закупить ноутбуки моделей 1, 3 и 4 с операционной системой Windows, а 2 и 5 — с Linux, то порядок операционных систем в магазинах будет следующий (от касс вглубь зала):

L W W W L,

W W L L W.

Тогда, если, например, инспектор придет в первый магазин и просмотрит первые четыре ноутбука, то он скажет: «Ага!», и выпишет штраф за то, что он увидел Windows-ноутбуков на два больше, чем Linux. Аналогичный результат будет, если он придет во второй магазин и просмотрит только первые два ноутбука.

А если закупить ноутбуки 2 и 3 с системой Linux, а 1, 4, 5 — с Windows, то порядок операционных систем будет следующий:

L W W L W,

L W L W W,

и в какой бы магазин не пришел инспектор, и сколько бы ноутбуков он не посмотрел, разница Windows- и Linux-ноутбуков не будет превосходить по модулю 1, и это и будет оптимальным вариантом для руководства сети. (Напомним, что инспектор всегда начинает осмотр магазина от касс и идет вглубь магазина вдоль ряда с ноутбуками).