Компания, в которой все ещё работает ваш друг, решила выпустить новую игру для мобильных телефонов, чтобы пассажирам было не так скучно стоять в пробках. Зная вас как хорошего программиста, вам поручили написать основную часть этой игры.

Игра будет состоять в том, что игрок будет управлять автобусом, перемещающимся по городу. В первой версии игры город будет представлять собой прямоугольное поле размера \(N\times M\) клеток, каждая из которых либо занята зданием, либо свободна (т.е. по ней проходит дорога). Автобус игрока может перемещаться лишь по дорогам, но не по зданиям.

Кроме того, автобус считается достаточно большим, настолько, что он не может разворачиваться в~пределах одной клетки. Правда, вам пока не хочется учитывать конкретные размеры автобуса, поэтому для простоты игроку будет запрещено делать два хода подряд в противоположных направлениях, а любые другие маневры будут разрешены.

Таким образом, каждым очередным ходом игрок может переместить автобус на любую соседнюю по стороне свободную клетку, кроме той, с которой автобус только что приехал. (Первым ходом можно переместить автобус в любую сторону.)

В результате понятно, что автобус игрока может застрять в тупике, откуда ему будет некуда двигаться. Более того, ясно, что есть клетки, куда заезжать нельзя, т.к., заехав туда, в итоге игрок будет вынужден доехать до тупика.

Строго говоря, пусть игрок перемещает автобус бесконечно долго (т.е. в течение бесконечного количества ходов). Тогда несложно видеть, что в некоторых свободных клетках игрок может бывать бесконечно много раз (при условии, что начальная клетка выбрана удачно), а в некоторых — не более одного (и то лишь в начальной части игры).

Сейчас вы хотите написать программу, которая разделит все свободные клетки поля на эти два типа.

Дядя Фёдор, кот Матроскин и Шарик решили обновить забор вокруг своего сада в Простоквашино. Матроскин и Шарик, недолго думая, вкопали \(N\) столбов вдоль одной из сторон участка. Это очень сильно расстроило Дядю Фёдора, так как его друзья забыли о самом главном — калитка должна находиться именно на этой стороне, и для неё необходимо было оставить проём шириной как минимум \(W\). Теперь им придётся выкапывать некоторые столбы.

Чтобы работа не пропадала даром, выкопать надо как можно меньше столбов. Помогите Дяде Фёдору определить, какие именно столбы надо выкопать. После выкапывания столбов должен найтись промежуток (между двумя оставшимися столбами, или между оставшимся столбом и концом стороны участка, или между двумя концами стороны участка) ширины больше или равной \(W\).

Пусть нам дано натуральное число \(N\). Рассмотрим множество различных целых чисел \(\{a_1, a_2, \dots, a_k\}\), где каждое число лежит в интервале от \(0\) до \(N-1\) включительно. Назовём такое множество свободным от сумм, если в этом множестве не найдётся таких трёх чисел, что сумма двух из них сравнима с третьим по модулю \(N\). Строго говоря, назовём множество свободным от сумм, если для каждой тройки (не обязательно различных) индексов \(x\), \(y\) и \(z\) (\(1\leq x,y,z\leq k\)) выполняется неравенство: \(\)(a_x+a_y) \bmod N \neq a_z\(\)

где \(p \bmod q\) — остаток от деления \(p\) на \(q\).

Например, при \(N=6\) множествами, свободными от сумм, не являются, например, \(\{0\}\) (т.к. \((0+0)\bmod 6=0\)), \(\{1,2\}\) (т.к. \((1+1) \bmod 6=2\)), \(\{3,4,5\}\) (т.к. \((4+5)\bmod 6=3\)), но множество \(\{1,3,5\}\) является свободным от сумм.

По заданному \(N\) определите, сколько существует множеств, свободных от сумм.

На досуге вы любите почитать сборники занимательных задач по математике. Недавно вы наткнулись в одном из таких сборников на следующую задачу:

Есть бесконечный резервуар с водой и два пустых сосуда объёмом 5 и 12 литров. Можно наливать воду из резервуара в любой сосуд до его заполнения, переливать воду из —одного сосуда в другой до заполнения второго или опустошения первого (смотря что будет раньше) и выливать воду из сосуда на землю до полного опустошения сосуда. Как таким образом можно отмерить 3 литра?

Вы решили написать программу, которая будет решать подобные задачи для произвольных объёмов сосудов.

Компания, производящая оборудование для сотовой связи, обратилась к вам с просьбой написать программу, оценивающую качество организации сети. Одним из важных параметров является то, пересекаются ли зоны покрытия передатчиков, работающих на одинаковых частотах. Для простоты будем считать, что область покрытия каждого передатчика представляет собой многоугольник на плоскости (не обязательно выпуклый). Две области покрытия будем считать пересекающимися, если у них есть хотя бы одна общая точка (возможно, лежащая на границе одной или даже обеих областей). Ваша программа должна принимать на вход набор пар многоугольников, описывающих зоны покрытия передатчиков, и выводить про каждую пару информацию о том, пересекаются ли эти зоны.