Для заданного числа \(n\) найдите наименьшее положительное целое число с суммой цифр \(n\), которое делится на \(n\).

Треугольник Паскаля – это бесконечный треугольник из чисел, который имеет следующий вид:

Строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля, числа в каждой строке также нумеруются с нуля. Нулевая строка содержит единственное число – единицу, а каждая следующая содержит на одно число больше, чем предыдущая. Нулевое и последнее число в каждой строке равны единице, а каждое из остальных равно сумме двух чисел предыдущей строки, расположенных над ним.

Таким образом, \(i\)-ая строка содержит \(i\) + 1 число. Если обозначить \(j\)-ый элемент \(i\)-ой строки как \(a_i\),\(j_,\) то выполняется равенство \(a_i\),\(j\) = \(a_i\) - 1,\(j\) - 1 + \(a_i\)-1,\(j\). Заметим, что это равенство выполняется и для крайних элементов, если положить отсутствующие элементы предыдущей строки (элементы с номерами -1 и \(i\)) равными нулю.

Коля хочет узнать, сколько нечетных чисел в n-ой строке треугольника Паскаля. Он начал рисовать треугольник, но очень скоро тот перестал помещаться на листочек. Тогда Коля решил сделать это с помощью компьютера. Помогите ему.

Недавно один известный художник-абстракционист произвел на свет новый шедевр – картину «Два черных непересекающихся прямоугольника». Картина представляет собой прямоугольник \(m\)×\(n\), разбитый на квадраты 1×1, некоторые из которых закрашены любимым цветом автора – черным. Федя – не любитель абстрактных картин, однако ему стало интересно, действительно ли на картине изображены два непересекающихся прямоугольника. Помогите ему это узнать. Прямоугольники не пересекаются в том смысле, что они не имеют общих клеток.

Толик только что узнал, что на свете существует двоичная система счисления. Обрадованный этим, он записал в столбик двоичные формы чисел 1, 2, …, \(n\). Получились числа 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, …

После этого он стер все написанные единицы и стал изучать расположение нулей. Он выбрал число \(k\) и в каждой строке, идя слева направо, выделил красным цветом каждый \(k\)-ый ноль, начиная с первого. Таким образом, оказались выделенными нули с номерами 1, \(k\) + 1, 2\(k\) + 1, … Например если \(k\) = 2, \(n\) = 56 то получились бы такие строки:

(красные нули выделены жирным шрифтом и подчеркнуты)

Теперь Толику интересно, сколько же ноликов он выделил. Помогите ему их посчитать.

Рассмотрим последовательность из открывающихся и закрывающихся круглых скобок. Последовательность называется правильной, если она может быть построена по следующим правилам:

1. пустая строка является правильной скобочной последовательностью; 2. если S – правильная скобочная последовательность, то (S) – тоже правильная скобочная последовательность. 3. если A и B – правильные скобочные последовательности, то AB – тоже правильная скобочная последовательность.

Примеры правильных скобочных последовательностей – «», «()», «((()))», «()()()», «((()())())(())». Неформально говоря, правильная скобочная последовательность – это последовательность скобок, которая может быть получена из некоторого арифметического выражения удалением из него всего, кроме скобок.

Рассмотрим последовательность скобок, содержащую как круглые, так и квадратные скобки. Пусть разрешается выполнять следующие операции: заменить открывающуюся квадратную скобку на произвольное число открывающихся круглых и заменить закрывающуюся квадратную скобку на произвольное количество закрывающихся круглых. Разрешается при замене создавать ноль скобок, то есть просто удалять соответствующую квадратную скобку.

Требуется с использованием указанных операций получить из заданной строки минимальную по длине правильную скобочную последовательность, состоящую только из круглых скобок.

Например, из строки [)())(]()] можно получить правильную скобочную последовательность (()())()().