В конструкторском бюро проектируют планетоход для исследования поверхности планеты Марс. Исследования должны проводиться на прямоугольной области планеты без препятствий внутри неё. Эта область разделена на единичные квадраты и имеет размеры \(M \times N\), где \(M\) – высота прямоугольника, а \(N\) – его ширина.

Планируется, что планетоход должен работать по следующей программе. Вначале он садится в северо-западном углу заданной области в направлении на восток. После этого планетоход начинает обход и исследование выбранной области, двигаясь по спирали по часовой стрелке. При этом спираль постепенно «закручивается» вовнутрь, захватывая постепенно все клетки прямоугольника. Исследование заканчивается, когда пройдены все клетки (после очередного поворота планетохода).

Требуется написать программу, которая для заданных \(M\) и \(N\) (\(1 \le M, N \le 32767\)) определяет количество поворотов, которые должен выполнить планетоход в процессе исследования области.

Числа в позиционной троично-симметричной системе счисления записываются с использованием трех символов: +, –, 0. Например, такими числами являются, например,

"+ + 0 – 0", "– – 0 +", "– – –".

Эти числа переводятся в десятичную систему как:

   а) + + 0 – 0 = 1*\(3^4\) + 1*\(3^3\) + 0*\(3^2\) – 1*\(3^1\) + 0*\(3^0\)

   б) – – 0 + = – 1*\(3^3\) – 1*\(3^2\) + 0*\(3^1\) + 1*\(3^0\)

   в) – – – = – 1*\(3^2\) – 1*\(3^1\) – 1*\(3^0\)

Над числами в позиционной троично-симметричной системе счисления можно выполнять два действия: сложение (+) и вычитание (–). Требуется написать программу, которая вычисляет сумму или разность чисел в троично-симметричной системе счисления. Таблица Пифагора для сложения цифр в троично-симметричной системе счисления имеет вид:

Для моделирования различных объектов часто применяются так называемые клеточные поля. В простейшем случае – это прямоугольные таблицы, характеризующие некоторую область, а в каждой ячейке таблицы записывается какая-либо информация об исследуемом объекте. В биологии для моделирования распространения вирусов на плоской области в каждой ячейке помечается наличие вируса, а его распространение осуществляется в соседние ячейки по вертикали и горизонтали за одну единицу времени. Некоторые клетки обладают иммунитетом, заразить их невозможно и через них не распространяются вирусы.

Требуется написать программу, которая определяет минимально возможное число вирусов, с помощью которых можно заразить всю исследуемую прямоугольную область (за исключением защищённых клеток).

В приведённом примере таблица имеет размер \(4\times5\), в ней символом "I" помечены защищённые клетки. Видно, что двух вирусов достаточно для заражения всей области. Их можно поместить, например, в клетки, помеченные символом "V".

Два студента, Адам и Антон, отмечают двухлетний юбилей несдачи их экзамена по математической логике. После тщательного поиска в местном супермаркете они купили прямоугольный торт и две свечи. Позже в университетском городке Адам поставил свечи в различные целочисленные точки пирога и дал нож Антону, чтобы он разрезал торт. Срез должен начинаться и заканчиваться в целочисленных точках на краях пирога, и не должен касаться свеч. Кроме того, каждая часть должна содержать ровно одну свечу. Пожалуйста, помогите Антону найти начальную и конечную точки разреза.

Боб нашёл отличную задачу для детей из его старой книги по математике. В ней сказано: Есть 10 детей, стоящих в кругу, 5 из них стоят рядом с мальчиком, и 7 из них стоят рядом с девочкой. Как такое могло быть? Вот решение этой задачи. Если 4 мальчика и 6 девочек стоят следующим образом: BGBGBGBGGG, Здесь 5 детей стоят рядом с мальчиком (здесь они выделены: BGBGBGBGGG), и 7 детей, которые стоят рядом с девочкой (BGBGBGBGGG). Теперь Боб хочет решить расширенную версию этой задачи: Есть n детей, стоящих в кругу, x из них стоят рядом с мальчиком, а y из них стоят рядом с девочкой. Как такое могло быть? Помогите Бобу написать эту программу в расширенной версии.