Вова и Марина любят играть в игры, а особенно — придумывать к ним свои правила. Недавно они открыли для себя веселую игру «Чапаев», в которой игроки должны сбивать щелчками шашки вражеского цвета с шахматной доски (также эта игра известна под названием «Щелкунчики»). Вдоволь наигравшись, они решили модифицировать правила, добавив игре математическую сложность.

Теперь они играют в «Чапаева» не на шахматной доске, а на доске в форме дерева! Их дерево состоит из \(N\) вершин. Вершина 1 является корнем дерева, а из каждой из оставшихся вершин проведено ребро в некоторую вершину с меньшим номером — ее непосредственного предка.

В игре участвуют шашки одного цвета, изначально расположенные в некоторых вершинах дерева. За один ход игрок выбирает некоторую шашку и щелчком отправляет ее к корню по ребрам дерева, сбивая при этом с доски все встреченные на пути шашки. Сама шашка, по которой производился удар, после попадания в корень дерева также слетает с доски.

Игроки делают ходы по очереди. Проигрывает тот игрок, к ходу которого на доске не остается шашек.

Придуманная ими игра замечательна также тем, что на одной и той же доске можно играть, начиная с разных начальных позиций шашек. Практика показала, что самые интересные партии получаются, если исходно расставить фишки во все вершины, являющиеся потомками (непосредственными или косвенными) некоторой вершины Root, при этом в саму вершину Root фишка не ставится.

Дети решили сыграть \(N\) партий, перебрав в качестве вершины Root каждую вершину дерева по одному разу. Если у очередной вершины Root нет потомков, и на доске исходно не оказывается ни одной фишки, то игры не происходит, и дети переходят к следующей расстановке. В каждой партии Марина ходит первой.

Вова интересуется у вас, в скольких партиях Марина сможет одержать победу, если игроки будут действовать оптимально.

Комментарий

Разберем тест из условия. Доска для игры показана на рисунках ниже. Дети сыграют четыре партии, выбирая в качестве Root вершины 1, 2, 3 и 5. Если выбрать в качестве Root любую из трех оставшихся вершин, на доске исходно не окажется ни одной фишки, поэтому игры не произойдет.

Если выбрать в качестве Root вершину 5, фишки будут исходно находиться в вершинах 6 и 7. В такой партии Марина проигрывает: после того, как она сбивает любую из этих двух фишек с доски, Вова сбивает оставшуюся и заканчивает партию.

Если выбрать в качестве Root вершину 2 или 3, у Марины будет возможность выиграть игру за один ход, щелкнув по фишке из вершины 4 (при этом, в случае Root = 2, она по пути также собьет фишку из 3 вершины по правилам игры)

Можно убедиться, что если выбрать в качестве Root вершину 1, у Марины также будет выигрышная стратегия. Для этого первым ходом Марина должна сбить фишку из вершины 2. Пример партии с таким начальным расположением показан ниже.

Таким образом, Марина выигрывает в трех партиях

В некотором королевстве есть \(N\) провинций. Король пожелал объединить все их под своей самодержавной властью. Естественно, чтобы никто не догадался об этих планах, он будет это делать поэтапно, а именно: раз в год он будет объединять какие-то две провинции в одну. Чтобы жителям обеих провинций не было обидно, новому территориальному образованию будет присвоено новое название, которое будет отличаться от обоих старых названий. Естественно, это потребует выпуска новых паспортов для жителей обеих провинций.

Очевидно, что если в первой провинции \(p_i\) жителей, а во второй – \(p_j\) жителей, то для них надо выпустить \(p_i + p_j\) новых паспортов.

На следующий год король объединяет еще какие-то две провинции. И так далее, до тех пор пока вся территория королевства не будет объединена в одну большую «провинцию». Определите, какое наименьшее количество новых паспортов придется выпустить, если король будет объединять провинции оптимально с этой точки зрения.