Напишите программу, находящую количество троек целых чисел a, b, p таких, что p — простое число, числа удовлетворяют равенству:

и каждое из чисел a, b и p лежит в промежутке от N до M (то есть N≤a≤ M, N≤b≤ M, N≤p≤ M).

Пусть a₁ = 2, a₂ = 3, a_n = a₁∙a₂∙...∙a_n-1 – 1 при n ≥ 3. Назовем числа a_i псевдопростыми. Для заданного натурального числа X нужно ответить на вопрос: можно ли X однозначно представить в виде произведения псевдопростых чисел (представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми), и, если можно — выдать разложение.<

Известно, что сложение и умножение являются ассоциативными операциями. Это значит, что значение выражений вида \(a_1\) + \(a_2\) +...+ \(a_n\) и \(a_1\) . \(a_2\) . ... . \(a_n\) не зависит от порядка выполнения в них действий и, следовательно, не меняется при произвольной расстановке в этих выражениях скобок.

В отличие от сложения и умножения, деление – операция не ассоциативная. Так, значение выражения вида \(a_1\)/\(a_2\)/ ... /\(a_n\) может меняться при расстановке в нем скобок.

Рассмотрим выражение вида

\(p_1\)/\(p_2\)/ ... /\(p_n\),

где все \(p_i\) – простые числа (не обязательно различные). Найдите количество возможных значений, которые может принять указанное выражение после расстановки в нем скобок, а также количество целых чисел среди этих значений. Например, выражение 3/2/2 после расстановки скобок может принять два значения: 3/4 = (3/2)/2 и 3 = 3/(2/2).

Ваня и Петя играют в следующую игру. Ваня пишет на бумаге какую-либо перестановку чисел от 1 до \(N\) (то есть выписывает все числа от 1 до \(N\) в некотором порядке) и расставляет на столе в ряд \(N\) предметов. После этого Петя переставляет предметы в соответствии с Ваниной перестановкой. А именно, Петя выполняет следующие действия: если i-ое число в Ваниной перестановке равно \(a_i\), то Петя ставит предмет, который стоит на i-ом месте, на место с номером \(a_i\).

Обозначим предметы числами от 1 до \(N\). Тогда начальное расположение предметов можно обозначить последовательностью чисел (1, 2, ..., \(N\)). К примеру, если \(N\) = 5, то начальное расположение предметов есть (1, 2, 3, 4, 5). Пусть Ваня написал перестановку <2, 5, 4, 3, 1>. Это значит, что после перемещения предметов они окажутся расставлены в следующем порядке: (5, 1, 4, 3, 2).

Однако, переставив предметы, Петя не останавливается на достигнутом и вновь переставляет их в соответствии с Ваниной перестановкой. Снова, если i-ое число в Ваниной перестановке равно \(a_i\), то Петя ставит предмет, который стоит на i-ом месте на место с номером \(a_i\). Так, если в приведенном выше примере повторно применить перестановку, предметы окажутся расположены в следующем порядке: (2, 5, 3, 4, 1).

Таким образом, Петя переставляет предметы в соответствии с Ваниной перестановкой, пока их расположение не окажется таким же, как исходное. В нашем примере Пете потребуется сделать еще 4 действия, порядок предметов после каждого из них будет следующим: (1, 2, 4, 3, 5), (5, 1, 3, 4, 2), (2, 5, 4, 3, 1), (1, 2, 3, 4, 5). Всего Пете потребовалось применить перестановку 6 раз.

Добрый Ваня хочет, чтобы Пете пришлось выполнить как можно больше действий. Помогите ему выбрать соответствующую перестановку.

В 3141 году очередная экспедиция на Марс обнаружила в одной из пещер таинственные знаки. Они однозначно доказывали существование на Марсе разумных существ. Однако смысл этих таинственных знаков долгое время оставался неизвестным. Недавно один из ученых, профессор Очень-Умный, заметил один интересный факт: всего в надписях, составленных из этих знаков, встречается ровно \(K\) различных символов. Более того, все надписи заканчиваются на длинную последовательность одних и тех же символов.

Вывод, который сделал из своих наблюдений профессор, потряс всех ученых Земли. Он предположил, что эти надписи являются записями факториалов различных натуральных чисел в системе счисления с основанием \(K\). А символы в конце - это конечно же нули - ведь, как известно, факториалы больших чисел заканчиваются большим количеством нулей. Например, в нашей десятичной системе счисления факториалы заканчиваются на нули, начиная с 5!=1·2·3·4·5 . А у числа 100! в конце следует 24 нуля в десятичной системе счисления и 48 нулей в системе счисления с основанием 6 - так что у предположения профессора есть разумные основания!

Теперь ученым срочно нужна программа, которая по заданным числам \(N\) и \(K\) найдет количество нулей в конце записи в системе счисления с основанием \(K\) числа \(N\)!=1·2·3·...·(\(N\)-1)·\(N\), чтобы они могли проверить свою гипотезу. Вам придется написать им такую программу!