Кружок по программированию, 2017-2018

# Особенности представления и работы с действительными числами

Десятичный мир

Для начала представим себе, что данные в компьютерах хранятся в ячейках-"битах", каждое из которых может принимать 10 разных значений. В таком случае очень легко хранить положительные целые числа: каждое число по цифрам записывается в ячейки памяти. Реальный процессор может выполнять арифметические с такими числами, но есть проблема: чем больше цифр в числах, которые он сможет складывать за одну операцию (такт), тем сложнее его проектировать, тем больше тепла он выделяет и энергии потребляет. Поэтому необходимо выбрать некоторое фиксированную "стандартную" длину чисел так, чтобы с одной стороны для большей части основных задач числа туда помещались, с другой стороны были наиболее короткими. Например, можно выбрать длину в 10 цифр для "обычных" чисел и длину 20 для "длинных" (операций с длинными целыми числами за один такт процессора будет выполняться меньше). Кстати, нам потребуется хранить ещё и знак числа. Как лучше всего это сделать — вопрос очень хороший. Для простоты можно считать, что знак мы храним в старшей цифре: если старшая цифра 0, то число положительное, если 1 — то отрицательное.

Итак, мы научились хранить целые числа. А как хранить действительные числа?

Можно, например, хранить десять цифр целой части и десять цифр дробной. Идея очень простая, но не очень полноценная. Обычное число Авогадро $6.02\cdot10^{23}$ записать уже не получится.

Можно было хранить числитель и знаменатель дроби (рационального числа). Но кроме множества проблем это не решает проблемы с $6.02\cdot10^{23}$ (ведь придётся хранить очень большое число, а, значит, нужно хранить много цифр).

Но если нужно уметь работать с числами вида $6.02\cdot10^{23}$, то может быть прямо так и хранить? Скажем, хранить 15 цифр числа (плюс 1 цифра на знак) и 3 цифры степени (плюс снова 1 цифра на знак степени), в сумме 20 цифр, или "стандартное" длинное число. В этом случае станет возможно работать с числами от $10^{-999}$ до $10^{999}$ с точностью 15 значащих цифр. Значащие цифры в такой записи называются мантиссой, а степень — экспонентой. Число Авогадро при этом можно было бы записать как $602\cdot10^{21}$.

Заметим, что число Авогадро в виде $x\cdot 10^n$ может быть записано по-разному: и как $6.02\cdot10^{23}$, и как $0.602\cdot10^{24}$, и как $602\cdot10^{21}$, и даже парой совсем неудобных способов: $60200000000000\cdot10^{10}$, $0.000000602\cdot10^{30}$. Желательно выбрать из всех таких представлений одно (каноническое). Кажется заманчивым хранить мантиссу в виде обычного целого числа, например хранить число Авогадро в виде $602\cdot10^{21}$. Но это не очень хорошо: в такой записи числа очень неудобно сравнивать: например попробуйте сравнить число Авогадро с числами $6\cdot10^{23}$, $62\cdot10^{22}$, $6021\cdot10^{20}$ или $60199999999999\cdot10^{10}$. Чтобы числа было удобно сравнивать (и ещё по нескольким причинам), используют следующий подход. Положительное число всегда можно домножить на такую степень десятки, чтобы целая часть лежала от 1 до 9. Ровно такое представление и используют для записи, оно называется нормализованным. Итак, каждое ненулевое число может быть представлено в нормализованном виде $\pm \overline{a_0,a_1a_2\ldots a_{13}\ldots}\cdot 10^n$, где $a_0\ne0$. И примерно в этом виде его можно и хранить: знак числа, целая часть, 14 цифр после запятой, знак степени, три цифры степени, в сумме 20 цифр.

Сравнивать числа в такой записи очень просто: например, если числа положительны, то нужно сначала сравнить показатели степени, а в случае, если они равны, сравнить мантиссы.

Кстати, мы ещё пропустили число 0. Его обычно хранят в виде $0\cdot10^0$, тогда для сравнения его с другими числами не потребуется дополнительных ухищрений.

Реальный двоичный мир