Нижегородская олимпиада: Задачи олимпиады

Фирма, в которой работает ваш друг, решила воспользоваться удобным моментом и купила компанию, занимающуюся пригородными автобусными пассажирскими перевозками. Таким образом, фирма вашего друга расширяет область деятельности и будет теперь обслуживать и некоторые внутриобластные автобусные маршруты.

Сейчас руководство фирмы, и в том числе ваш друг, заняты оптимизацией работы этих маршрутов. Одна из основных проблем, которые были обнаружены, состоит в том, что большинство автобусов, использующихся там, очень старые и изношенные, и поэтому часто выходят из строя. В целях улучшения ситуации было принято решение о создании сети ремонтных подстанций, которые будут располагаться в некоторых населённых пунктах области и обслуживать другие близлежащие населённые пункты.

Система дорог в области устроена следующим простым образом. Есть \(N\) населённых пунктов, некоторые из которых соединены дорогами. Между каждой парой пунктов существует не более одной дороги, и более того, для каждой пары населённых пунктов есть ровно один способ добраться из одного в другой (возможно, через промежуточные посёлки).

В каждом населённом пункте можно разместить ремонтную подстанцию. В принципе, фирма может размещать как крупные подстанции, которые даже в одиночку смогут обслуживать всю область, но при этом будут требовать больших расходов на содержание, так и небольшие станции, которые будут обслуживать лишь прилегающие населённые пункты, но при этом будут обходиться намного дешевле. Фирма уже определила, что каждую подстанцию можно характеризовать параметром “мощность”, которая может принимать значения, являющиеся целыми положительными числами (равна нулю мощность быть не может). Подстанция с мощностью \(k\) будет обслуживать населённый пункт u, в котором она расположена, и все другие населённые пункты, до которых можно добраться из u, использовав не более k дорог (т.е. при \(k\)=1, например, подстанция обслуживает свой населённый пункт и все, которые напрямую соединены с ним дорогой). Стоимость содержания такой подстанции пропорциональна её мощности.

Теперь перед руководством фирмы и, в частности, вашим другом, стоит задача придумать схему расположения подстанций в населённых пунктах области так, чтобы, во-первых, каждый населённый пункт обслуживался хотя бы одной подстанцией, а во-вторых, суммарная мощность созданных подстанций была минимальна.

Как показывает статистика, автобусы намного реже ломаются на дорогах, чем внутри населённых пунктов, где они вынуждены часто изменять скорость, останавливаться, трогаться с места, заводить двигатель и т.д., поэтому не важно, все ли дороги обслуживаются — главное, чтобы обслуживались все населённые пункты.