В одной Очень Известной Летней Школе наиболее популярным видом спорта является волейбол. Для каждого из \(N\) школьников известно его умение играть в волейбол. Перед началом занятий школьников необходимо распределить между двумя тренерами.

Тренеры сочли справедливым следующий алгоритм разделения на две группы. Сначала они выбирают два целых числа \(p\), \(q\) (\(0 < p \le q \le N\)). Затем первый берет себе \(p\) лучших школьников, после чего оба тренера, начиная со второго, берут по очереди по \(q\) лучших школьников из оставшихся, пока их количество не меньше \(q\). В конце очередной тренер просто берет всех оставшихся.

Оба тренера заинтересованы в наиболее справедливом распределении школьников между группами. Поэтому они стремятся найти такие \(p\) и \(q\), чтобы разница суммарных умений между двумя группами школьников оказалась минимальной. При этом, вообще говоря, не обязательно, чтобы количество школьников в каждой из групп было одинаковым.

Помогите тренерам подобрать такие "справедливые" значения \(p\) и \(q\) (\(0 < p \le q \le N\)), при которых разница в суммарных умениях образованных групп школьников по абсолютной величине будет минимальна.

На одну Очень Известную Планету упал метеорит. Метеорит в атмосфере распался на \(N\) кусков, каждый из которых упал в свою точку.

Чтобы куски метеорита не были испорчены любопытными туристами, для проведения научных исследований решили построить один забор, которым огородить не менее \(K\) кусков метеорита. Естественно, что забор должен быть минимально возможной длины, и внутри него должны оказаться любые \(K\) (или больше) кусков метеорита (кусок считается лежащим внутри забора как когда он лежит строго внутри, так и когда забор проходит непосредственно через него).

Конечно, ученые хотят огородить как можно больше кусков, но как всегда, все упирается в деньги. Главный бухгалтер решил составить такую таблицу: для каждого \(K\) от 1 до \(N\) определить, какой минимальной длины нужно построить забор, чтобы внутри него оказалось не менее \(K\) кусков метеорита. Помогите ему.

Юная программистка Агнесса недавно узнала на уроке информатики об арифметических выражениях. Она заинтересовалась вопросом, что случится, если из арифметического выражения удалить всё, кроме скобок. Введя запрос в своём любимом поисковике, она выяснила, что математики называют последовательности скобок, которые могли бы встречаться в некотором арифметическом выражении, правильными скобочными последовательностями.

Так, последовательность ()(()) является правильной скобочной последовательностью, потому что она может, например, встречаться в выражении (2+2) : (3–(5–2)+4), а последовательности (() и ())( не являются таковыми. Легко видеть, что существует пять правильных скобочных последовательностей, состоящих ровно из шести скобок (по три скобки каждого типа — открывающих и закрывающих): ((())), (()()), (())(), ()(()) и ()()().

Агнесса заинтересовалась простейшими преобразованиями правильных скобочных последовательностей. Для начала Агнесса решила ограничиться добавлением скобок в последовательность. Она очень быстро выяснила, что после добавления одной скобки последовательность перестаёт быть правильной, а вот добавление двух скобок иногда сохраняет свойство правильности. Например, при добавлении двух скобок в различные места последовательности ()() можно получить последовательности (()()), (())(), ()(()) и ()()(). Легко видеть, что при любом способе добавления двух скобок с сохранением свойства правильности одна из новых скобок должна быть открывающей, а другая — закрывающей.

Агнесса хочет подсчитать количество различных способов добавления двух скобок в заданную правильную скобочную последовательность так, чтобы снова получилась правильная скобочная последовательность. К сожалению, выяснилось, что это количество может быть в некоторых случаях очень большим. Агнесса различает способы получения последовательности по позициям добавленных скобок в полученной последовательности. Например, даже при добавлении скобок в простейшую последовательность () можно получить другую правильную скобочную последовательность семью способами: ()(), (()), (()), (()), (()), ()(), ()(). Здесь добавленные скобки выделены жирным шрифтом.

Таким образом, если в полученной последовательности добавленная открывающая скобка стоит в позиции \(i\), а добавленная закрывающая — в позиции \(j\), то два способа, соответствующие парам \((i_1, j_1)\) и \((i_2, j_2)\), считаются различными, если \(i_1\neq i_2\) или \(j_1\neq j_2\).

Требуется написать программу, которая по заданной правильной скобочной последовательности определяет количество различных описанных выше способов добавления двух скобок.