#44

Машинки

Темы: [Динамическое программирование на таблицах]

Источники: [ Командные олимпиады, Московская командная олимпиада, 9-11 классы, 2006, Задача I ]

По двум однополосным дорогам едут машины. На перекрестке эти дороги сливаются в одну однополосную (машины едут как раз в ее сторону). На этом самом перекрестке стоит постовой милиционер, который регулирует движение, а именно, выбирает, с какой из двух дорог в данный момент машины будут заезжать.

В каждый момент времени либо одна из дорог является "активной", т.е. перекресток проезжают машины с этой дороги, либо регулировщик производит переключение потока на другую дорогу (в этот момент никакие машины через перекресток не едут). На то, чтобы "переключить" поток, тратится время Т.

В некоторый момент образовалась пробка. На 1-й дороге скопилось N машин, а на 2-й — M. Для каждой машины известно время, которое ей потребуется для проезда развилки, если она первая в очереди и ее дорога "активна".

Требуется разработать план действий для постового по переключению потоков, при котором среднее время ожидания машины минимально (временем ожидания машины называется время с момента образования пробки до того момента, когда данная машина заканчивает проезжать перекресток; для вычисления среднего времени суммируются времена ожидания всех машин и полученная сумма делится на общее количество машин). В начальный момент активна первая дорога.

Входные данные

Сначала вводятся числа T, N и M, затем N чисел — времена проезда перекрестка машинами с первой дороги (в порядке удаления от перекрестка), а затем M чисел — времена проезда перекрестка машинами со второй дороги.

<>Все числа целые неотрицательные, все времена не превосходят 100, T ≤ 100, N, M ≤ 1000, N+M > 0.

Выходные данные

В первой строке выведите одно число — минимальное среднее время ожидания c точностью 10^–3. Далее выводите информацию о машинах в порядке их проезда перекрестка и о переключении потока следующим образом.

Для каждой машины выведите информацию в формате:

Car k from road i

где k — номер машины на своей дороге (ближайшая к перекрестку в момент образования пробки машина имеет номер 1, следующая на той же дороге — 2 и т.д.), i — номер дороги: 1 или 2.

Для каждого переключения потока выведите информацию:

Switch road from 1 to 2

для переключения потока с первой дороги на вторую или

Switch road from 2 to 1

для переключения потока со второй дороги на первую.

Информация обо всех событиях (переключениях и проездах через перекресток) должна выводиться именно в том порядке, в котором они происходят.

Если решений несколько, выведите любое из них.

Оценка задачи

1 балл будет набирать решение, верно работающее при N, M ≤ 10.

Примеры

Входные данные

1 2 2
5 6 
1 7

Выходные данные

11.500
Switch road from 1 to 2
Car 1 from road 2
Switch road from 2 to 1
Car 1 from road 1
Car 2 from road 1
Switch road from 1 to 2
Car 2 from road 2

#191

Шахматный детектив

Темы: [Динамическое программирование: два параметра] [Перебор с отсечением]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2006, Задача A ]

Дано изображение состоящее из черных, белых и серых клеток. Необходимо определить, может ли изображение быть шахматной доской (клетки доски могут состоять из нескольких маленьких клеток).

Известный частный сыщик поставил чашку с чаем на специальную подогревающую подставку, питающуюся от USB-порта его компьютера, и приступил к обдумыванию очередного запутанного преступления. Через пару часов раздумий он понял, что для разгадки этого дела достаточно определить, была ли на месте преступления шахматная доска.

Недавно он получил по электронной почте фотографию места преступления. Подозрительный фрагмент (тот, на котором изображен предмет, похожий на шахматную доску) уже был скопирован в отдельный файл, но вдруг выяснилось, что, поскольку фотография была сжата с потерей качества, некоторые пиксели на ней из белых или черных стали серыми. Таким образом, определение того, является ли сфотографированный предмет шахматной доской, стало намного более сложным.

Все усложняется тем, что на фотографию могла попасть не вся шахматная доска, а лишь ее часть. Например, на приведенном рисунке на фотографию попала часть доски, у которой каждое поле имеет длину стороны, равную трем пикселям.

Помогите частному сыщику в расследовании преступления. Напишите программу, которая определит, может ли заданный фрагмент фотографии быть изображением части шахматной доски, и, если может, восстановит изображение шахматной доски до сжатия.

Шахматная доска – это квадрат, разбитый на x² (для некоторого x) равных квадратов – полей. Стороны полей параллельны сторонам изображения. Длина стороны каждого поля шахматной доски выражается целым числом пикселей. Все пиксели, принадлежащие одному полю, покрашены в один и тот же цвет – черный или белый. При этом соседние поля (поля, имеющие общую сторону) покрашены в различные цвета.

Входные данные

В первой строке вводятся два целых числа: m и n – размеры фрагмента фотографии в пикселях ( 1 $le$ m, n $le$ 250).

Следующие m строк содержат по n символов каждая, j-й символ i-й строки соответствует пикселю с координатами (i, j). Символ «.» (точка) означает белый пиксель, символ «*» – черный, символ «?» – серый.

Выходные данные

Если заданный фрагмент фотографии может быть изображением части шахматной доски, выведите слово «YES». После этого выведите m строк по n символов в каждой – изображение соответствующей части шахматной доски в том же формате, что и во входных данных, только серые пиксели должны быть заменены на белые или черные. Если решений несколько, выведите любое.

В противном случае программа должна вывести слово «NO».

Примеры

Входные данные

4 5
*.?.?
.***.
.*?*.
.*?*.

Выходные данные

YES
*...*
.***.
.***.
.***.

Входные данные

4 5
..?..
.***.
.*?*.
.*?*.

Выходные данные

NO

#409

Максимальная сумма

Темы: [Динамическое программирование на таблицах]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2006, Задача G ]

Задана таблица, содержащая числа. Необходимо найти прямоугольную рамку (прямоугольник, с осями, параллельными осям координат и шириной линий 1) с максимальной суммой чисел в ячейках, покрытых рамкой.

Сегодня на страницах газеты «Математический досуг» была опубликована необычная математическая головоломка. Одна из страниц газеты полностью занята прямоугольной таблицей, состоящей из m строк и n столбцов. В каждой ячейке таблицы записано некоторое целое число.

Для решения головоломки требуется найти такой невырожденный прямоугольник с вершинами в центрах ячеек таблицы, и сторонами, параллельными сторонам таблицы, чтобы сумма чисел, записанных в ячейках на границе получившегося прямоугольника, была максимальна.

Безуспешно потратив несколько часов на решение головоломки, Саша решил написать программу, которая сделала бы это за него. Но и тут его постигла неудача. Теперь ему ничего не остается, как обратиться за помощью к вам.

Напишите программу, которая по заданной таблице найдет искомый прямоугольник.

Входные данные

В первой строке вводятся два целых числа $m$ и $n$ ($2 \le m, n \le 300$). Далее следует описание таблицы – $m$ строк, каждая из которых содержит по $n$ целых чисел $a_{i, j}$ ($-10^4 \le a_{i,j} \le 10^4$).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число $s$ – максимальную сумму чисел на границе искомого прямоугольника. Во второй строке выведите четыре натуральных числа: $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ – координаты левой верхней и правой нижней ячейки выбранного прямоугольника, соответственно (здесь $x$ – номер строки, а $y$ – номер столбца, строки нумеруются сверху вниз, начиная с единицы, столбцы нумеруются слева направо, начиная с единицы). Если оптимальных решений несколько, выведите любое.

Примеры

Входные данные

2 3
1 1 1
1 1 1

Выходные данные

6
1 1 2 3

Входные данные

5 4
9 -2 -1 3
-10 -5 1 -4
1 -1 2 -2
3 0 0 -1
2 2 -1 2

Выходные данные

8
3 1 5 3

#498

Кубики

Темы: [Динамическое программирование: два параметра]

Источники: [ Командные олимпиады, Московская командная олимпиада, 8 класс, 2007, Задача H ]

Родители подарили мальчику Пете очень много одинаковых кубиков. Наиболее интересным сооружением из кубиков Петя счел двусторонние лесенки.

В основании (нижнем ряду) такой лесенки расположено $N$ кубиков, а каждый следующий ряд кубиков укладывается на предыдущий так, что один кубик укладывается ровно на один нижестоящий кубик, а по крайней мере на самый правый и самый левый кубики предыдущего ряда новые кубики не кладутся (чтобы получилась ступенька).

Петя поручил старшему брату подсчитать, сколько можно построить различных лесенок, состоящих из ровно $K$ рядов кубиков, в основании которых лежит ровно $N$ кубиков. При этом, если одну лесенку можно получить из другой путем зеркального отображения, то они все равно считаются различными.

Входные данные

Вводятся два числа $N$ и $K$ ($1 \le N \le 100$, $1 \le K \le 100$).

Выходные данные

Выведите одно число – количество различных лесенок. Гарантируется, что правильный ответ не будет превышать $10^{18}$.

Примеры

Входные данные

10 4

Выходные данные

#544

Космический мусорщик

Темы: [Динамическое программирование на таблицах]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2002, Задача I ]

Вызов функции осуществляется с одним числовым параметром. Функция прибавляет один к счетчику и вызывает заданный набор функций с параметром, на 1 меньшим. При параметре 0 функция прекращает работу. Требуется вывести значение счетчика.

В околоземном космическом пространстве накопилось много мусора, поэтому ученые сконструировали специальный аппарат - ловушку для космического мусора. Для того, чтобы хорошо собирать мусор, этот аппарат должен двигаться по достаточно сложной траектории, сжигая собранный по пути мусор. Ловушка может передвигаться в пространстве по 6 направлениям: на север ($N$), на юг ($S$), на запад ($W$), на восток ($E$), вверх ($U$) и вниз ($D$). Движением ловушки управляет процессор. Программа движения задается шестью правилами движения, которые соответствуют каждому из указанных направлений. Каждое такое правило представляет собой строку символов из множества {$N$, $S$, $W$, $E$, $U$, $D$}.

Команда ловушки есть пара из символа направления и параметра - целого положительного числа $M$. При исполнении такой команды ловушка в соответствии со своей программой выполняет следующее. Если параметр больше 1, то она перемещается на один метр в направлении, которое указано в команде, а затем последовательно выполняет команды, заданные правилом для данного направления, с параметром меньше на 1. Если же параметр равен 1, то просто перемещается на один метр в указанном направлении.

Пусть, например, заданы следующие правила:

Тогда при выполнении команды $S$(3) мусорщик выполнит следующие действия:

1) переместится на 1 метр в направлении $S$
2) выполнит последовательно команды $N$(2), $U$(2), $S$(2), $D$(2), $D$(2), $U$(2), $S$(2), $E$(2).
Если далее проанализировать действия мусорщика при выполнении команд из пункта 2, получим, что в целом он совершит следующие перемещения:

SNNUUSNUSDDUSEDWEDDWEDUUSNUSDDUSEEПо заданной команде определите, какое общее количество перемещений на один метр совершит ловушка при выполнении заданной команды. В приведенном примере это количество равно 34.

Входные данные

Первые шесть строк входных данных задают правила для команд с направлением $N$, $S$, $W$, $E$, $U$ и $D$ соответственно. Каждая строка содержит не более 100 символов (и может быть пустой). Следующая строка содержит команду ловушки: сначала символ из множества {$N$, $S$, $W$, $E$, $U$, $D$}, затем пробел и параметр команды - целое положительное число, не превышающее 100.

Выходные данные

Выведите единственное число - количество перемещений, которое совершит ловушка. Гарантируется, что ответ не превышает $10^9$.

Примеры

Входные данные

N
NUSDDUSE
UEWWD

U
WED
S 3

Выходные данные