#35

Темы: [Динамическое программирование: один параметр]

Источники: [ Командные олимпиады, Московская командная олимпиада, 9-11 классы, 2005, Задача J ]

Рассмотрим фигуру, аналогичную показанной на рисунке (большой равносторонний треугольник, составленный из маленьких равносторонних треугольников). На рисунке приведена фигура, состоящая из 4-х уровней треугольников.

Напишите программу, которая будет определять, сколько всего в ней треугольников (необходимо учитывать не только "маленькие" треугольники, а вообще все треугольники — в частности, треугольник, выделенный жирным, а также вся фигура, являются интересующими нас треугольниками).

Входные данные

Вводится одно число $N$ — количество уровней в фигуре ($1\le N \le 100000$).

Выходные данные

Выведите количество треугольников в такой фигуре.

Примеры

Входные данные

Выходные данные

Входные данные

Выходные данные

Входные данные

Выходные данные

#44

Машинки

Темы: [Динамическое программирование на таблицах]

Источники: [ Командные олимпиады, Московская командная олимпиада, 9-11 классы, 2006, Задача I ]

По двум однополосным дорогам едут машины. На перекрестке эти дороги сливаются в одну однополосную (машины едут как раз в ее сторону). На этом самом перекрестке стоит постовой милиционер, который регулирует движение, а именно, выбирает, с какой из двух дорог в данный момент машины будут заезжать.

В каждый момент времени либо одна из дорог является "активной", т.е. перекресток проезжают машины с этой дороги, либо регулировщик производит переключение потока на другую дорогу (в этот момент никакие машины через перекресток не едут). На то, чтобы "переключить" поток, тратится время Т.

В некоторый момент образовалась пробка. На 1-й дороге скопилось N машин, а на 2-й — M. Для каждой машины известно время, которое ей потребуется для проезда развилки, если она первая в очереди и ее дорога "активна".

Требуется разработать план действий для постового по переключению потоков, при котором среднее время ожидания машины минимально (временем ожидания машины называется время с момента образования пробки до того момента, когда данная машина заканчивает проезжать перекресток; для вычисления среднего времени суммируются времена ожидания всех машин и полученная сумма делится на общее количество машин). В начальный момент активна первая дорога.

Входные данные

Сначала вводятся числа T, N и M, затем N чисел — времена проезда перекрестка машинами с первой дороги (в порядке удаления от перекрестка), а затем M чисел — времена проезда перекрестка машинами со второй дороги.

<>Все числа целые неотрицательные, все времена не превосходят 100, T ≤ 100, N, M ≤ 1000, N+M > 0.

Выходные данные

В первой строке выведите одно число — минимальное среднее время ожидания c точностью 10^–3. Далее выводите информацию о машинах в порядке их проезда перекрестка и о переключении потока следующим образом.

Для каждой машины выведите информацию в формате:

Car k from road i

где k — номер машины на своей дороге (ближайшая к перекрестку в момент образования пробки машина имеет номер 1, следующая на той же дороге — 2 и т.д.), i — номер дороги: 1 или 2.

Для каждого переключения потока выведите информацию:

Switch road from 1 to 2

для переключения потока с первой дороги на вторую или

Switch road from 2 to 1

для переключения потока со второй дороги на первую.

Информация обо всех событиях (переключениях и проездах через перекресток) должна выводиться именно в том порядке, в котором они происходят.

Если решений несколько, выведите любое из них.

Оценка задачи

1 балл будет набирать решение, верно работающее при N, M ≤ 10.

Примеры

Входные данные

1 2 2
5 6 
1 7

Выходные данные

11.500
Switch road from 1 to 2
Car 1 from road 2
Switch road from 2 to 1
Car 1 from road 1
Car 2 from road 1
Switch road from 1 to 2
Car 2 from road 2

#191

Шахматный детектив

Темы: [Динамическое программирование: два параметра] [Перебор с отсечением]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2006, Задача A ]

Дано изображение состоящее из черных, белых и серых клеток. Необходимо определить, может ли изображение быть шахматной доской (клетки доски могут состоять из нескольких маленьких клеток).

Известный частный сыщик поставил чашку с чаем на специальную подогревающую подставку, питающуюся от USB-порта его компьютера, и приступил к обдумыванию очередного запутанного преступления. Через пару часов раздумий он понял, что для разгадки этого дела достаточно определить, была ли на месте преступления шахматная доска.

Недавно он получил по электронной почте фотографию места преступления. Подозрительный фрагмент (тот, на котором изображен предмет, похожий на шахматную доску) уже был скопирован в отдельный файл, но вдруг выяснилось, что, поскольку фотография была сжата с потерей качества, некоторые пиксели на ней из белых или черных стали серыми. Таким образом, определение того, является ли сфотографированный предмет шахматной доской, стало намного более сложным.

Все усложняется тем, что на фотографию могла попасть не вся шахматная доска, а лишь ее часть. Например, на приведенном рисунке на фотографию попала часть доски, у которой каждое поле имеет длину стороны, равную трем пикселям.

Помогите частному сыщику в расследовании преступления. Напишите программу, которая определит, может ли заданный фрагмент фотографии быть изображением части шахматной доски, и, если может, восстановит изображение шахматной доски до сжатия.

Шахматная доска – это квадрат, разбитый на x² (для некоторого x) равных квадратов – полей. Стороны полей параллельны сторонам изображения. Длина стороны каждого поля шахматной доски выражается целым числом пикселей. Все пиксели, принадлежащие одному полю, покрашены в один и тот же цвет – черный или белый. При этом соседние поля (поля, имеющие общую сторону) покрашены в различные цвета.

Входные данные

В первой строке вводятся два целых числа: m и n – размеры фрагмента фотографии в пикселях ( 1 $le$ m, n $le$ 250).

Следующие m строк содержат по n символов каждая, j-й символ i-й строки соответствует пикселю с координатами (i, j). Символ «.» (точка) означает белый пиксель, символ «*» – черный, символ «?» – серый.

Выходные данные

Если заданный фрагмент фотографии может быть изображением части шахматной доски, выведите слово «YES». После этого выведите m строк по n символов в каждой – изображение соответствующей части шахматной доски в том же формате, что и во входных данных, только серые пиксели должны быть заменены на белые или черные. Если решений несколько, выведите любое.

В противном случае программа должна вывести слово «NO».

Примеры

Входные данные

4 5
*.?.?
.***.
.*?*.
.*?*.

Выходные данные

YES
*...*
.***.
.***.
.***.

Входные данные

4 5
..?..
.***.
.*?*.
.*?*.

Выходные данные

NO

#409

Максимальная сумма

Темы: [Динамическое программирование на таблицах]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2006, Задача G ]

Задана таблица, содержащая числа. Необходимо найти прямоугольную рамку (прямоугольник, с осями, параллельными осям координат и шириной линий 1) с максимальной суммой чисел в ячейках, покрытых рамкой.

Сегодня на страницах газеты «Математический досуг» была опубликована необычная математическая головоломка. Одна из страниц газеты полностью занята прямоугольной таблицей, состоящей из m строк и n столбцов. В каждой ячейке таблицы записано некоторое целое число.

Для решения головоломки требуется найти такой невырожденный прямоугольник с вершинами в центрах ячеек таблицы, и сторонами, параллельными сторонам таблицы, чтобы сумма чисел, записанных в ячейках на границе получившегося прямоугольника, была максимальна.

Безуспешно потратив несколько часов на решение головоломки, Саша решил написать программу, которая сделала бы это за него. Но и тут его постигла неудача. Теперь ему ничего не остается, как обратиться за помощью к вам.

Напишите программу, которая по заданной таблице найдет искомый прямоугольник.

Входные данные

В первой строке вводятся два целых числа $m$ и $n$ ($2 \le m, n \le 300$). Далее следует описание таблицы – $m$ строк, каждая из которых содержит по $n$ целых чисел $a_{i, j}$ ($-10^4 \le a_{i,j} \le 10^4$).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число $s$ – максимальную сумму чисел на границе искомого прямоугольника. Во второй строке выведите четыре натуральных числа: $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ – координаты левой верхней и правой нижней ячейки выбранного прямоугольника, соответственно (здесь $x$ – номер строки, а $y$ – номер столбца, строки нумеруются сверху вниз, начиная с единицы, столбцы нумеруются слева направо, начиная с единицы). Если оптимальных решений несколько, выведите любое.

Примеры

Входные данные

2 3
1 1 1
1 1 1

Выходные данные

6
1 1 2 3

Входные данные

5 4
9 -2 -1 3
-10 -5 1 -4
1 -1 2 -2
3 0 0 -1
2 2 -1 2

Выходные данные

8
3 1 5 3

#415

Эксперимент

Темы: [Динамическое программирование на графах]

Источники: [ Командные олимпиады, ВКОШП, 2005, Задача C ]

Задано дерево зависимостей частей эксперимента (т.е. какие действия необходимо выполнить до данного). Также для каждого действия определено, на какой установке (всего 2) оно делается. Требуется определить порядок действия, чтобы минимизировать количество переходов между установками.

Сегодня Игорь получил долгожданное разрешение на проведение эксперимента по изучению протекания химических реакций в магнитном поле. При этом используются две установки – генератор магнитного поля и манипулятор, соединяющий реагенты.

Эксперимент разбит на некоторое количество этапов, при этом некоторые из них могут быть выполнены только после завершения определенного набора других этапов. Правда известно, что хотя бы один способ проведения эксперимента существует. На каждом этапе Игорь должен управлять ровно одной из двух установок – либо генератором, либо манипулятором.

Игорь очень дорожит своим временем, и поэтому он хочет провести эксперимент, совершив наименьшее количество перемещений между пультами управления установками. Помогите ему узнать, в каком порядке следует выполнять этапы, чтобы этого добиться.

Входные данные

В первой строке вводится целое число n – количество этапов эксперимента ( 1 $le$ n $le$ 100).

Следующие n строк содержат описание этапов. Пронумеруем этапы от 1 до n в некотором произвольном порядке. Тогда i-я из этих строк описывает i-й этап. Каждый этап описывается последовательностью целых чисел. Первое число равно нулю, если на этом этапе Игорь управляет генератором, и единице, если он управляет манипулятором. Затем записано целое число r_i – количество этапов, которые должны быть выполнены перед выполнением данного. За ним следуют номера этих этапов – r_i различных целых чисел в диапазоне от 1 до i - 1.

Выходные данные

В первой строке выведите минимальное количество перемещений, которые придется совершить Игорю. Во второй строке выведите перестановку чисел от 1 до n – последовательность, в которой следует выполнять этапы. Если решений несколько, выведите любое.

Примеры

Входные данные

Выходные данные

1
2 1 3