Петя и Вася — хорошие друзья. Поэтому они часто ездят друг к другу в гости. Недавно Петя получил водительские права и собирается навестить своего друга. Для простоты будем считать, что все дороги в городе, в котором они живут, являются бесконечными прямыми. В месте пересечения двух или более дорог находятся перекрестки. Дома Пети и Васи расположены возле некоторых дорог города, но не на перекрестках.

Петя начинает путь на дороге возле своего дома. При этом он может выбрать любое из двух направлений. Когда Петя подъезжает к перекрестку, он может повернуть на любую другую проходящую через него дорогу или продолжить ехать по текущей. Поскольку Петя не очень опытный водитель, каждый поворот, который он совершает, заставляет его волноваться. Причем волнение Пети равно величине угла, на который он поворачивает, в градусах. Например, при повороте на прямой угол волнение Пети равно 90.

Помогите Пете выяснить, чему равно минимальное суммарное волнение, которое он испытает, добравшись до дома Васи.

Учительница математики очень не любит Колю и всегда заставляет его отвечать у доски самые сложные задачи.

Вот и сегодня она написала на доске последовательность из \(n\) целых неотрицательных чисел чисел \(a_1, \ a_2, \dots, \ a_n\) и вызвала Колю к доске. За одно действие учительница разрешает Коле стереть любое число и на его место записать число на единицу больше. Учительница требует от Коли за минимальное число действий добиться того, чтобы где-нибудь в этой последовательности встречались подряд в возрастающем порядке числа от \(1\) до \(h\).

Помогите Коле понять, за какое минимальное число действий ему удастся добиться того, что для некоторого \(i\) будет выполнено \(a_i \ = \ 1, a_{i \ + \ 1} \ = \ 2, \dots, \ a_{i \ + \ h \ − \ 1} \ = \ h\), или выясните, что это невозможно и учительница опять безнаказанно издевается над бедным Колей.

Пете и Васе стало очень скучно на уроке биологии, и они решили поиграть в любимую всеми школьниками игру в крестики-нолики до пяти в ряд на бесконечном поле.

Рассмотрим кратко правила игры. Игра происходит на бесконечном клетчатом поле, два игрока делают ходы по очереди, первый игрок ходит крестиками, а второй — ноликами. В свой ход игрок выбирает свободную клетку поля и ставит туда свой символ. Если после хода очередного игрока на поле есть пять его символов подряд по вертикали, горизонтали или диагонали, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем и игра заканчивается.

Петя и Вася уже довольно долго играют в игру. Сейчас должен ходить Петя, который играет крестиками. Петя надеется побыстрее завершить игру и хочет выиграть не более чем за два, а лучше за один ход. Петя называет ход оптимальным, если для этого хода выполнено одно из двух:

• этот ход приводит к немедленной победе Пети;
• не существует хода, который приводит к немедленной победе Пети, но если Петя сделает этот ход, то Вася не выиграет следующим ходом и, вне зависимости от ответного хода Васи, у Пети будет следующий ход, который приведет к его немедленной победе.

В лаборатории аномальных материалов антинаучно-исследовательского комплекса «Black Mesa» проводят эксперименты с недавно разработанным графитовым наностержнем. Графитовый наностержень представляет собой \(n\) последовательно соединенных атомов углерода, находящихся на одной прямой. Каждый атом имеет определенный заряд.

Для проведения эксперимента, стержень располагают вертикально. Пронумеруем атомы от 1 до n снизу вверх. Между двумя атомами образуется сильная связь, если это соседние атомы и верхний из них имеет заряд ровно на один больше, чем нижний. Иными словами, атомы a и b соединены сильной связью, если \(a \ = \ b \ + \ 1\) и \(q_a \ = \ q_b \ + \ \)1, где \(q_i\) — заряд \(i\)-го атома. Цепочкой атомов назовем несколько последовательных атомов, соединенных сильными связями.

Вчера был проведен очередной эксперимент. Перед началом эксперимента каждому атому установили определенный заряд: \(i\)-му атому установили заряд \(q_i\).

Во время эксперимента ученые проводили действия двух типов:

• у всех атомов с номерами от \(l_i\) до \(r_i\), включительно, заряд изменяли на величину \(d_i\);
• временно разрушали все сильные связи атомов, кроме тех, которые соединяют атомы с номерами от \(l_i\) до \(r_i\), включительно, и измеряли длину самой длинной цепочки атомов среди оставшихся сильных связей. Затем восстанавливали все временно разрушенные связи.

Ваня сомневается, хочет ли он праздновать свой день рождения. Он решил сообщить друзьям частичную информацию о дате своего рождения, и если они вычислят точную дату, то так тому и быть — праздник состоится.

Подруге Ане он личным сообщением в социальной сети сообщил число внутри месяца, а другу Боре — месяц своего рождения. Затем он опубликовал на своей странице список дней года, один из которых — день его рождения, а также фразу о том, что Аня знает число, но не знает месяц, а Боря — знает месяц, но не число.

Затем в комментариях состоялся следующий диалог:

Аня: Я не знаю точную дату рождения Вани, но я уверена, что и Боря её тоже не знает.

Боря: Я сначала не знал дату Ваниного рождения, но теперь, после твоего комментария, знаю точно!

Аня: Ого! Теперь и я тоже знаю точную дату!

Когда же у Вани день рождения?