Для заданного числа \(n\) найдите наименьшее положительное целое число с суммой цифр \(n\), которое делится на \(n\).

Треугольник Паскаля – это бесконечный треугольник из чисел, который имеет следующий вид:

Строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля, числа в каждой строке также нумеруются с нуля. Нулевая строка содержит единственное число – единицу, а каждая следующая содержит на одно число больше, чем предыдущая. Нулевое и последнее число в каждой строке равны единице, а каждое из остальных равно сумме двух чисел предыдущей строки, расположенных над ним.

Таким образом, \(i\)-ая строка содержит \(i\) + 1 число. Если обозначить \(j\)-ый элемент \(i\)-ой строки как \(a_i\),\(j_,\) то выполняется равенство \(a_i\),\(j\) = \(a_i\) - 1,\(j\) - 1 + \(a_i\)-1,\(j\). Заметим, что это равенство выполняется и для крайних элементов, если положить отсутствующие элементы предыдущей строки (элементы с номерами -1 и \(i\)) равными нулю.

Коля хочет узнать, сколько нечетных чисел в n-ой строке треугольника Паскаля. Он начал рисовать треугольник, но очень скоро тот перестал помещаться на листочек. Тогда Коля решил сделать это с помощью компьютера. Помогите ему.

Толик только что узнал, что на свете существует двоичная система счисления. Обрадованный этим, он записал в столбик двоичные формы чисел 1, 2, …, \(n\). Получились числа 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, …

После этого он стер все написанные единицы и стал изучать расположение нулей. Он выбрал число \(k\) и в каждой строке, идя слева направо, выделил красным цветом каждый \(k\)-ый ноль, начиная с первого. Таким образом, оказались выделенными нули с номерами 1, \(k\) + 1, 2\(k\) + 1, … Например если \(k\) = 2, \(n\) = 56 то получились бы такие строки:

(красные нули выделены жирным шрифтом и подчеркнуты)

Теперь Толику интересно, сколько же ноликов он выделил. Помогите ему их посчитать.

Вы, наверное, замечали, что многие компании используют для рекламы «красивые» номера телефонов, которые удобны для запоминания потенциальными клиентами. Но что делать, если номер вашей компании ничем не примечателен? Можно присмотреться к нему повнимательнее, а вдруг, если перегруппировать цифры номера некоторым образом, номер станет намного красивее? Например, если у вашей компании номер 872-73-33, то его можно сделать красивее, если перегруппировать цифры так: 8727-333.

Введем следующую оценку красоты разбиения номера. Будем разбивать номер дефисами на группы размером от 2 до 4 цифр. Теперь красотой разбиения назовем сумму баллов, которые приносит каждая группа. Эти баллы будем считать, пользуясь следующей таблицей.

	 
Шаблон группы          Баллы	 
aa                     2	 
aba                    2	 
aab, abb               2	 
aaa                    3	 
abac, baca             2	 
abab                   3	 
aabb                   3	 
abba                   4	 
baaa, abaa, aaba, aaab 3	 
aaaa                   5

В этой таблице символами «a», «b», «c» обозначены различные цифры. Например под шаблон «aab» подходят группы «223», «667», но не подходят «123» и «888».

Пользуясь предложенной оценкой, найдите наиболее красивое разбиение заданного номера.