Юная Мирка - начинающий музыкант. Она играет на мульти-пианино. Мульти-пианино имеет бесконечно много мульти-клавиш, обозначенных целыми числами, которые можно воспринимать как ноты. Мульти-композиция (композиция для мульти-пианино) может быть представлено как последовательность чисел, обозначающих мульти-клавиши, которые должны быть нажаты (то есть ноты, которые должны быть сыграны).

Мирка услышала на мульти-радио мульти-композицию, и теперь она хочет сыграть ее. К сожалению, она не не умеет точно узнавать ноты по звуку, но может понимать, была ли нота с радио выше или ниже последней сыгранной ей ноты. Поэтому, она решила сыграть мульти-композицию следующим образом:

1. Перед началом игры, она выберет целое неотрицательное число K .

2. В начале, она сыграет правильную ноту (ее мульти-учитель сказал ей, какую клавишу нужно нажать первой)

3. Когда она услышит ноту выше, чем она только что сыграла, она будет нажимать на мульти-клавишу с числом на K больше, чем она только что сыграла.

4. Когда она услышит ноту ниже, чем она только что сыграла, она будет нажимать на мульти-клавишу с числом на K меньше, чем она только что сыграла.

5. Когда она услышит такую же ноту, как только что сыграла, она будет нажимать на ту же мульти-клавишу, что только что сыграла.

Помогите Мирке выбрать такое K , чтобы она правильно сыграла как можно больше нот мульти-композиции.

Мирко и Славко играют в игру. Мирко ходит первым и выбирает непустое множество пар чисел от 1 до N (включительно). При этом числа в одной паре должны быть различны и взаимнопросты. Например, для N = 5 , Мирко может выбрать такое множество пар: {(1, 2), (3, 4), (2, 5), (3, 5)}.

Славко ходит вторым и его задача - найти разделяющий элемент для множества пар Мирко. Разделяющим элементом для множества пар называется такое число x из диапазона [2: N ] , что для каждой пары ( a , b ) из множества выполняется одно из двух условий:

1. a , b < x

2. a , b ≥ x

Например, множество пар {(1, 2), (3, 4)} имеет разделяющий элемент x = 3 .

Если разделяющий элемент существует, Славко обязательно его найдет, и тогда он выиграет. Мирко же выиграет, если Славко не сможет найти разделяющий элемент. Он просит вас помочь: определите, как много множеств пар, удовлетворяющих условию, он может выбрать, чтобы гарантированно выиграть. Так как это число может быть очень большим, выведите его по модулю 1 000 000 000.

Рассмотрим следующую игру об удалении вершин из графа, представляющего лес (то есть объединение нескольких деревьев). Изначально граф состоит из одного дерева из n вершин, а количество очков равно 0 .

Игра задаётся перестановкой вершин и происходит следующим образом:

1. Если граф опустел, то игра заканчивается.
2. Иначе выбирается первая ещё не удалённая вершина в перестановке, после чего
3. Количество очков увеличивается на размер дерева из которого была выбрана вершина, а затем выбранная вершина и все связанные с ней рёбра удаляются, и тот же процесс продолжается на оставшемся графе.

Просуммируем число очков по всем возможным n ! играм. Выведите это число по модулю 10 ⁹ + 7 .

Цезарь очень любит карточные игры. Поэтому каждый раз, когда он оказывается в Загребе, он бежит в первое попавшееся казино и там играет в блэкджек.

В блэкджеке игрок может брать карты из колоды до тех пор, пока сумма его карт не превосходит 21 или пока он не скажет «DOSTA» («Стоп» по-хорватски).

В начале игры в колоде есть по 13 карт каждой масти, 9 из которых имеют числовые значения 2, 3, ..., 10 ; так же «Валет», «Дама» и «Король» имеют числовые значения 10 ; а «Туз» — 11 .

Цезарь уже сделал n ходов и уже достал из колоды некоторые карты с суммой менее 21 . Теперь он хочет понять, стоит ли брать ещё одну карту, или остановиться. Пусть X — разница межу 21 и суммой карт. Как известно, новую карту не стоит брать, если число карт со значением больше X превышает число карт со значением не более X .

Цезарь испытывает некоторые проблемы с арифметикой, поэтому он просит вас сообщить ему, стоит ли брать новую карту.

Ивица — страстный компьютерщик. Недавно он начал работать над своей первой компьютерной игрой — клоном популярного тетриса. Хотя игра далека от завершения, его программа уже поддерживает размещение в матрице N × M пяти разных фигур Тетриса (показанных на изображении ниже) в матрице. Перед тем, как поместить фигуру в матрицу, её можно поворачивать на 90 градусов произвольное число раз и можно окрашивать. Кроме того, текущая версия игры не поддерживает размещение фигуры, если она при этом выходит за границы матрицы или перекрывается с другими существующими фигурами в матрице.

Пока Ивица учился в школе, его сестра Марика начала игру и случайным образом повернула, покрасила и поместила фигуры, но таким образом, что соседние фигуры окрашены по-разному. Две фигуры смежны, если они имеют общую сторону или общий угол.

Он хочет знать для каждого из пяти типов фигуры, сколько таких фигур его сестра разместила в матрицу, пока он занят улучшением игры.