Как много открытий можно сделать, исследуя числа и составляющие их цифры!

Петя очень любит арифметику, и кроме домашних заданий он постоянно придумывает дополнительные задачи. Однажды он стал прибавлять к натуральным числам сумму составляющих их цифр. Петя обнаружил, что некоторые числа, например 20, не могут быть получены из других чисел в результате такого действия. Эти числа ему не понравились, и он назвал их некрасивыми.

Позже, когда Петя начал изучать информатику, те же исследования он стал проводить с натуральными числами в двоичной системе счисления. Например, двоичное число 1110­₂ (в десятичной системе — 14) можно получить из числа 1100₂ (в десятичной системе — 12), прибавив к последнему сумму его цифр:

1100₂ + 10₂ = 1110₂.

Петя решил исследовать множество двоичных некрасивых чисел. Первые пять некрасивых чисел он нашел без труда: 1 = 1₂, 4 = 100₂, 6 = 110₂, 13 = 1101₂, 15 = 1111₂. Продолжить работу он собирается с помощью компьютера.

Требуется написать программу, которая определяет количество двоичных некрасивых чисел, не превосходящих заданного числа n.

В стране Флатландия решили построить легкоатлетический манеж с M одинаковыми прямолинейными беговыми дорожками. Они будут покрыты полосами из синтетического материала пружинкин. На складе имеются N полос пружинкина, длины которых равны 1, 2, …, N метров соответственно (i-я полоса имеет длину i метров).

Было решено использовать все полосы со склада, что определило длину дорожек манежа. Полосы пружинкина должны быть уложены без перекрытий и промежутков. Разрезать полосы на части нельзя. Полосы укладываются вдоль дорожек, ширина полосы пружинкина совпадает с шириной беговой дорожки.

Требуется написать программу, которая определяет, можно ли покрыть всем имеющимся материалом M дорожек, и если это возможно, то распределяет полосы пружинкина по дорожкам.

К 2110 году город Флэтбург, являясь одним из крупнейших городов мира, не имеет обходной автомагистрали, что является существенным препятствием для его развития как крупнейшего транспортного центра мирового значения. В связи с этим ещё в 2065 году при разработке Генерального плана развития Флэтбурга была определена необходимость строительства кольцевой автомобильной дороги.

В Генеральном плане также были обозначены требования к этой дороге. Она должна соответствовать статусу кольцевой — иметь форму окружности. Кроме этого, четыре крупные достопримечательности Флэтбурга должны быть в одинаковой транспортной доступности от дороги. Это предполагается обеспечить тем, что они будут находиться на равном расстоянии от неё. Расстоянием от точки расположения достопримечательности до дороги называется наименьшее из расстояний от этой точки до некоторой точки, принадлежащей окружности автодороги.

Требуется написать программу, которая вычислит число возможных планов постройки кольцевой автомобильной дороги с соблюдением указанных требований и найдёт такой план, для которого длина дороги будет минимальной. Гарантируется, что хотя бы один план постройки существует.

В наши дни предоставление поверхностей заборов и стен промышленных зданий рекламодателям — уже не оригинальный способ получить дополнительный заработок, а нечто само собой разумеющееся.

Небольшая компания «Домострой» также решила выйти на этот рынок и стала предлагать место для рекламы на своих блоках заборов. Блок представляет собой параллелепипед размером \(1\times1\times L\), на одной из сторон которого есть место для рекламы — пространство размера \(1\times L\), в которое можно вписать ровно \(L\) букв латинского алфавита.

К сожалению, иногда сделки у компании срывались, и заранее подготовленные блоки с рекламой отправлялись на склад. Со временем там скопилось приличное количество блоков различных типов (блоки разных типов отличаются друг от друга только надписью), поэтому было решено использовать их вторично.

Была предложена следующая идея: если поставить несколько блоков друг на друга и закрасить ненужные буквы, то, читая сверху вниз и слева направо, можно будет прочитать какой-нибудь другой текст, как показано на рисунке.

После того, как некоторое число \(K\) блоков, каждый из которых имеет длину \(L\), поставили друг на друга, получилась прямоугольная таблица размером \(K\times L\), в каждой клетке которой находится буква латинского алфавита. Каждый рекламный блок соответствует строке этой таблицы. Теперь содержимое этой таблицы выписывается по столбцам, начиная с самого левого. При этом в каждом столбце буквы выписываются сверху вниз. В случае, изображённом на рисунке, в результате этого процесса получилась бы строка «TOEIIZENITKN». Необходимо, чтобы рекламная надпись, требуемая заказчику, входила в получившуюся строку как подстрока «TOEIIZENITKN».

Требуется написать программу, которая будет определять, какое минимальное количество блоков надо использовать, чтобы получить рекламную надпись, необходимую заказчику. При этом можно считать, что на складе блоков каждого типа неограниченно много.

Начинающий программист Поликарп очень любит дарить подарки, особенно в коробках. Он давно заметил, что если коробка красиво оформлена, то радость от подарка возрастает многократно. Любой обёрточной бумаге он предпочитает клетчатую. В самом деле, после распаковки подарка на ней можно играть в крестики-нолики, морской бой, точки, а также решать задачи и писать программы.

Поликарп очень аккуратен. Он упаковывает подарок в коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, и оклеивает всю её поверхность клетчатой бумагой. При этом каждая грань коробки представляет собой прямоугольник, состоящий из целых клеток. На рисунке изображён пример такой упаковки подарка.

В настоящий момент Поликарп собирается поздравить свою подругу, недавно вернувшуюся с очередной олимпиады. Он хочет подарить ей подарок в большой и красивой коробке.

У Поликарпа в наличии есть лист клетчатой бумаги, состоящий из \(n\) клеток. Каким будет максимальный объём коробки, которую можно оклеить с использованием этого листа бумаги описанным выше способом? Поликарп может разрезать лист клетчатой бумаги по границам клеток произвольным образом и оклеивать коробку получившимися фигурами, поэтому форма листа не важна, а имеет значение только количество клеток на нём. Поликарп может использовать для оклеивания коробки не все клетки.

Напишите программу, которая по заданному количеству клеток \(n\) находит размеры коробки максимального возможного объема.