На улице уже неделю лил беспросветный дождь, а Игорь все сидел дома и играл в свои любимые игрушки. Но играть так долго в одно и то же ему быстро надоело, и он пошел к родителям выпрашивать новые. Родители быстро сдались, поэтому на следующий день вся семья собралась, и они поехали в магазин игрушек.
При входе в магазин у Игоря сразу разбежались глаза. Ему хотелось и гоночную машинку, и кораблик с белыми парусами, и саблю, которая так и манила его своим блестящим лезвием. Всего в магазине продается \(N\) новых игрушек, причем так получилось, что все они плоские и имеют форму выпуклых многоугольников (действительно, на что еще можно было надеяться в магазине «Сто тысяч и один выпуклый многоугольник для детей младшего школьного возраста»?). Но строгий отец сказал, что купит Игорю только две игрушки. Игорь сразу же начал перебирать в голове варианты, но их оказалось слишком много, а если быть более конкретным, то его интересовало ровно \(Q\) вариантов выбора пары игрушек.
Любознательный Игорь сразу же задумался о тонкостях упаковки игрушек. А именно, для каждой интересующей его пары игрушек \(i\), \(j\) он хочет проделать следующие операции.
Изначально каждая игрушка лежит в своей плоской прямоугольной коробке, которая плотно прилегает к игрушке. Далее Игорь ставит эти две коробки на стол рядом друг с другом (\(i\)-ю игрушку можно поставить как левее \(j\)-й, так и правее), убирает коробки, потом придвигает игрушки друг к другу, насколько это возможно, и кладет то, что получилось, обратно в коробку (обратите внимание на рисунок). Так как Игорь очень экономный, ему нужно знать размеры получившейся коробки. Повлиять на высоту итоговой коробки, двигая игрушки параллельно плоскости стола, нельзя, так что вам нужно помочь Игорю лишь с определением минимально возможной ширины получившейся коробки.
Обратите внимание, что игрушки можно лишь двигать параллельно плоскости стола, поворачивать их каким-либо образом запрещено. Таким образом, задачу можно считать двумерной: ось \(O_x\) совпадает с плоскостью стола, а ось \(O_y\), по которой измеряется высота игрушек и коробок, перпендикулярна плоскости стола. Стороны коробок параллельны соответствующим осям координат. Диковинных игрушек в магазине предостаточно, так что они могут «стоять» на столе, в том числе и балансируя на одной вершине самым непостижимым образом.
Для лучшего понимания условия ознакомьтесь с примером и иллюстрациями к нему.
В первой строке содержится натуральное число \(N\) (1 ≤ \(N\) ≤ 100 000) - количество игрушек. Далее следуют описания \(N\) выпуклых многоугольников в следующем формате: сначала идет натуральное число \(k_m\) (3 ≤ \(k_m\) ≤ 300 000) - количество вершин в \(m\)-м многоугольнике, затем идут \(k_m\) строк, в которых записаны пары целых чисел xm,s, ym,s, по модулю не превосходящих \(10^9\) - координаты вершин \(m\)-го многоугольника в порядке обхода против часовой стрелки, заданные в системе координат соответствующей ему коробки, которая стоит на столе (это означает, что ym,s >= 0, а также для всех игрушек существует вершина \(v_m\), у которой ym,\(v_m\) = 0). Сумма всех \(k_m\) (обозначим ее за \(S\)) не превосходит 300 000.
В следующей строке записано натуральное число \(Q\) (1 ≤ \(Q\) ≤ 500 000) - число вариантов. Следующие \(Q\) строк содержат пары натуральных чисел \(i_t\), \(j_t\) (1 ≤ \(i_t\) < \(j_t\) ≤ \(N\)) - номера сдвигаемых игрушек в очередном варианте.
Выведите \(Q\) строк: для каждого варианта выбора пары одно вещественное число - необходимую ширину коробки. Ответ будет считаться правильным, если все числа посчитаны с абсолютной или относительной погрешностью не более \(10^{-9}\).
Верхний рисунок иллюстрирует исходное размещение игрушек в коробках, а нижние — варианты итогового расположения игрушек (оптимальный вариант слева).
Тесты к этой задаче состоят из четырех групп.
0. Тест 1. Тест из условия, оценивается в ноль баллов.
1. Тесты 2–20. В тестах этой группы \(k_m\) ≤ 100, \(Q\) ≤ 1 000, \(S\) ≤ 10 000. Эта группа оценивается в 25 баллов. Баллы начисляются только при прохождении всех тестов группы.
2. Тесты 21–40. В тестах этой группы \(k_m\) ≤ 300, \(Q\) ≤ 50 000, \(S\) ≤ 100 000. Эта группа оценивается в 25 баллов. Баллы начисляются только при прохождении всех тестов группы. Решение будет тестироваться на тестах этой группы только в случае про- хождения всех тестов из первой группы.
3. Тесты 41–65. В тестах этой группы дополнительные ограничения отсутствуют. Эта группа оценивается в 50 баллов. Решение будет тестироваться на тестах этой группы только в случае прохождения всех тестов из первой и второй групп. Тесты в этой группе оцениваются независимо.
2 5 0 0 4 2 6 6 3 8 -2 4 5 0 0 2 0 8 4 5 11 3 12 1 1 2
14.5000000000
2 3 0 0 0 3 -1 1 3 0 0 1 0 -20 20 1 1 2
21.0000000000
На протяжении многих лет Вася работает программистом в одной очень большой и очень известной компании. Эта компания обеспечивает своих сотрудников всем необходимым для приятной и плодотворной работы: бесплатными обедами, транспортом от дома до места работы и многим, многим другим. И вот в один прекрасный солнечный день Вася понял, что ему очень наскучил вид из окна его офиса, и ему нужно, чтобы за окном было что-то новое и прекрасное. А что может быть лучше чудесного горного пейзажа? Придя к этой мысли, Вася попросил своего менеджера подобрать себе новый офис с красивым видом на горы.
В той местности, где располагается офис Васи, каждая гора принадлежит некоторой горной цепи. Так как Васе хочется, чтобы вид из окна его офиса был идеальным, то он попросил подобрать себе такой офис, чтобы никакие две горные цепи, видимые из окна, не пересекались. Менеджер Васи нашел прекрасный новый офис, из которого видно N горных цепей, но он никак не может определить, понравится ли Васе вид из окна этого офиса. Помогите ему!
Более формально, вид из окна офиса представляет собой набор горных цепей, пронумерованных от \(1\) до \(N\), где горная цепь с номером i представляет собой ломаную на плоскости из \(l_i\) звеньев с вершинами в точках (\(x_i\),\(j\) , \(y_i\),\(j\) ), причем для любых \(i\), \(j\) выполнено \(x_{i,j} < x_{i,j+1}\).
Кроме этого, окно в офисе имеет фиксированную ширину, поэтому все горные цепи начинаются и заканчиваются на одной вертикали, то есть существуют такие числа \(A\) и \(B\), что для любого номера \(i\) горной цепи выполнено \(x_{i,0} = A, x_{i,l_i} = B\).
Отметим, что из определения горной цепи следует, что для любого значения абсциссы \(A \le x \le B\) на ломаной с номером \(i\) существует единственная точка (\(x\), \(y_i\)(\(x\))) с этим значением абсциссы, принадлежащая этой ломаной. Будем говорить, что горная цепь \(i\) находится строго выше горной цепи \(j\) в точке \(x\), если выполнено строгое неравенство \(y_i(x) > y_j (x)\).
Естественно считать, что цепь под номером \(i\) пересекается с цепью под номером \(j\), если существуют такие два значения абсциссы \(x_1\), \(x_2\), что цепь \(i\) находится строго выше цепи \(j\) в точке \(x_1\), но при этом цепь \(j\) находится строго выше цепи \(i\) в точке \(x_2\), то есть выполнены неравенства \(y_i\)(\(x_1\)) > \(y_j\) (\(x_1\)) и \(y_j\) (\(x_2\)) > \(y_i\)(\(x_2\)). Обратите внимание на поясняющие рисунки, расположенные в примечании к задаче.
Вам необходимо определить, подойдет ли подобранный офис Васе, и, если нет, то найти любую пару пересекающихся горных цепей.
В первой строке входных данных через пробел идут два целых числа: \(A\) и \(B\) (\(−10^9 \le A < B \le 10^9\) ).
Во второй строке входных данных находится единственное число \(N\) — количество горных цепей, видимых из окна подобранного менеджером Васи офиса (\(1 \le N \le 100 000\)).
Далее следуют описания N горных цепей. В первой строке i-го описания содержится число \(l_i \ge 1\) — количество звеньев ломаной, из которых состоит соответствующая горная цепь. В следующих \(l_i\) + 1 строках описания содержатся два целых числа — координаты (\(x_{i, j} , y_{i,j}\) ) вершин ломаной (\(0 \le j \le l_i\)). Суммарное число звеньев всех ломаных не превосходит 200 000.
Гарантируется, что для каждой горной цепи вершины соответствующей ей ломаной идут во входных данных в порядке возрастания абсциссы, причем для любого \(i\) выполнено \(x_{i,0} = A, x_{i,l_i} = B\).
Если же офис подходит Васе, то есть никакие две горные цепи из входных данных не пересекаются, в единственной строке выходных данных выведите слово «Yes» (без кавычек).
Иначе выведите в первой строке слово «No» (без кавычек), а на следующей строке выведите два числа — номера двух пересекающихся горных цепей. Горные цепи нумеруются согласно их появлению во входных данных, начиная с 1.
В первом примере хотя ломаные и касаются друг друга в точке (−3, 2), но, согласно данному выше определению, они не пересекаются.
Во втором примере в точке \(x_1\) = 1 одна ломаная выше другой, а в точке \(x_2\) = 3 — наоборот, то есть горные цепи пересекаются.
Тесты к этой задаче состоят из пяти групп. Баллы за каждую группу ставятся только при прохождении всех тестов группы и всех тестов предыдущих групп. Offline-проверка означает, что результаты тестирования вашего решения на данной группе станут доступны только после окончания соревнования.
-3 3 2 1 -3 2 3 1 2 -3 2 0 4 3 2
Yes
0 4 2 3 0 3 1 3 3 1 4 1 1 0 2 4 2
No 1 2