В одном государстве имеется \(N\) городов. Некоторые города соединены дорогами, причем для любых двух городов \(A\) и \(B\) выполняется следующее свойство: существует ровно один способ попасть из города \(A\) в город \(B\) если можно перемещаться только по дорогам и не разрешается проезжать по одной и той же дороге более одного раза.

Недавно президента этой страны заинтересовал вопрос: какие три города являются наиболее удаленными друг от друга. А именно, назовем взаимной удаленностью друг от друга трех городов \(A\), \(B\) и \(C\) минимальное количество дорог, которое необходимо использовать, чтобы доехать от \(A\) до \(B\), затем от \(B\) до \(C\) и затем от \(C\) до \(A\) (при этом разрешается использовать одну и ту же дорогу в различных путешествиях).

Требуется найти три города, для которых взаимная удаленность друг от друга будет максимальной.

Например, для пяти городов, соединенных дорогами так, как это показано на рисунке 1, три наиболее удаленных друг от друга города - это города 1, 2 и 5 (взаимная удаленность равна 2 + 3 + 3 = 8), а для городов на рисунке 2 - это любые три города, выбранные из множества {1, 2, 4, 5} (удаленность 2 + 2 + 2 = 6).

В околоземном космическом пространстве накопилось много мусора, поэтому ученые сконструировали специальный аппарат - ловушку для космического мусора. Для того, чтобы хорошо собирать мусор, этот аппарат должен двигаться по достаточно сложной траектории, сжигая собранный по пути мусор. Ловушка может передвигаться в пространстве по 6 направлениям: на север (\(N\)), на юг (\(S\)), на запад (\(W\)), на восток (\(E\)), вверх (\(U\)) и вниз (\(D\)). Движением ловушки управляет процессор. Программа движения задается шестью правилами движения, которые соответствуют каждому из указанных направлений. Каждое такое правило представляет собой строку символов из множества {\(N\), \(S\), \(W\), \(E\), \(U\), \(D\)}.

Команда ловушки есть пара из символа направления и параметра - целого положительного числа \(M\). При исполнении такой команды ловушка в соответствии со своей программой выполняет следующее. Если параметр больше 1, то она перемещается на один метр в направлении, которое указано в команде, а затем последовательно выполняет команды, заданные правилом для данного направления, с параметром меньше на 1. Если же параметр равен 1, то просто перемещается на один метр в указанном направлении.

Пусть, например, заданы следующие правила:

Тогда при выполнении команды \(S\)(3) мусорщик выполнит следующие действия:

1) переместится на 1 метр в направлении \(S\)
2) выполнит последовательно команды \(N\)(2), \(U\)(2), \(S\)(2), \(D\)(2), \(D\)(2), \(U\)(2), \(S\)(2), \(E\)(2).
Если далее проанализировать действия мусорщика при выполнении команд из пункта 2, получим, что в целом он совершит следующие перемещения:

SNNUUSNUSDDUSEDWEDDWEDUUSNUSDDUSEEПо заданной команде определите, какое общее количество перемещений на один метр совершит ловушка при выполнении заданной команды. В приведенном примере это количество равно 34.

Сережа - большой любитель игр на сотовом телефоне. Недавно он скачал из интернета новую игру "Пузырьки 1D". Опишем правила игры.

Исходная позиция в игре представляет собой \(N\) пузырьков, расположенных вертикально в ряд. Каждый пузырек окрашен в один из четырех цветов - красный, зеленый, синий или желтый. Назовем группой несколько следующих подряд пузырьков одинакового цвета, непосредственно сверху и снизу от которых находятся либо пузырьки другого цвета, либо границы ряда пузырьков.

За один ход разрешается выбрать любую группу, состоящую хотя бы из двух пузырьков, и взорвать ее. За взрыв группы, содержащей K пузырьков, игрок получает K² очков. После взрыва группы пузырьки, которые находились сверху, опускаются вниз.

Например, ниже на рисунке показана позиция, содержащая 10 пузырьков. В ней четыре группы, содержащие 3, 2, 4 и 1 пузырек, соответственно. Если взорвать группу, содержащую четыре пузырька, то игрок получит 16 очков, и верхние 5 пузырьков опустятся вниз. В получившейся позиции 6 пузырьков, и две группы по 3 пузырька в каждой.

По заданной начальной позиции в игре выясните, сможет ли Сережа уничтожить все пузырьки, и если да, то какое максимальное количество очков он сможет заработать.

Петя - большой любитель математических головоломок. Недавно он прочитал в одном популярном журнале о новой головоломке. Он пытался ее решить несколько дней, но это ему так и не удалось. Помогите Пете справиться с неподдающейся задачей.

В ряд выписаны n чисел. Требуется поставить между каждой парой соседних чисел один из знаков "+" или "×" таким образом, чтобы значение получившегося выражения было как можно больше. Использовать скобки не разрешается.

Например, для последовательности чисел 1, 2, 3, 1, 2, 3 оптимально расставить знаки следующим образом: 1 + 2 × 3 × 1 × 2 × 3. Значение выражения в этом случае равно 37.