Дан набор гирь массой m­₁, …, m_N. Можно ли их разложить на две чаши весов, чтобы они оказались в равновесии?

В исследовательской лаборатории фирмы Robots&Co разработали новую модель робота. Главной особенностью данной модели робота является то, что он работает по заранее заданной программе, в которой могут присутствовать команды: сделать шаг на Юг, на Север, на Восток или на Запад. Робот исполняет программу строго последовательно и, дойдя до конца программы, останавливается. Специалисты из Robots&Co заинтересовались вопросом, сколько существует различных программ, состоящих из K инструкций, таких, что робот, выйдя из начала координат, придет в точку с координатами (X, Y). Оси координат располагаются параллельно сторонам света, и единица измерения, соответствует одному шагу робота. Напишите программу, которая дает ответ на этот вопрос.

Палиндромом называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево. Подпалиндромом данной строки называется последовательность символов из данной строки, не обязательно идущих подряд, являющаяся палиндромом. Например, HELOLEH является подпалиндромом строки HTEOLFEOLEH. Напишите программу, находящую в данной строке подпалиндром максимальной длины.

Папа Карло сменил работу: теперь он работает в мастерской, и целый рабочий день занимается тем, что забивает гвоздики. Чтобы ему было не скучно, у него в мастерской стоит постоянно работающий телевизор. К сожалению, производительность папы Карло напрямую зависит от его настроения, а оно, в свою очередь, — от того, что в данный момент показывают по телевизору. Правда, пока папа Карло забивает гвоздик, он не обращает ни малейшего внимания на телевизор, и поэтому скорость его работы зависит только от того, что показывали по телевизору в тот момент, когда он только начал забивать этот гвоздик. Забив очередной гвоздик, он обязательно мельком смотрит в телевизор (его настроение, естественно, меняется), и после этого он может либо сразу начать забивать следующий гвоздик, либо отдохнуть несколько секунд или даже минут, смотря телевизор.>

Папа Карло начинает работу ровно в 9 часов. С 13 часов у него начинается обеденный перерыв. При этом если он незадолго до обеда хочет начать вбивать гвоздик, но понимает, что до перерыва он не закончит эту работу, то он и не начинает ее. Аналогично в 14 часов он вновь приступает к работе, а в 18 уходит домой. Это значит, что в 9:00:00 (аналогично, как и в 14:00:00) он уже может начать забивать гвоздик. Если, например, в 12:59:59 (аналогично, в 17:59:59) он хочет начать вбивать гвоздик, и на это у него уйдет 1 секунда, то он успевает вбить гвоздик до обеда (до окончания работы соответственно), а если 2 — то уже нет.

Известна программа телевизионных передач и то, как они влияют на папу Карло. Требуется составить график работы и маленьких перерывчиков папы Карло так, чтобы за рабочий день он вбил максимально возможное количество гвоздей.

Петя придумал новую игру. На стол кладется кучка из N спичек, и затем Петя с Ваней по очереди берут спички из кучки. Первым берет Петя, ему разрешается взять от 1 до K спичек. Затем игрок может взять любое количество спичек, не более чем на 1 превышающее то количество, которое взял игрок перед ним (можно взять меньше или столько же, но обязательно хотя бы одну). Например, если N = 10, K = 5, то на первом ходу Петя может взять 1, 2, 3, 4 или 5 спичек, если Петя возьмет 3, то на следующем ходу Ваня может взять 1, 2, 3 или 4, и если Ваня возьмет 1, то Петя затем может взять 1 или 2, и т. д. Проигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку.

Теперь Петя хочет рассчитать какое количество спичек он должен взять на первом ходу, чтобы выиграть при любой игре Вани. Помогите ему.