Власти Флатландии решили построить новый мост через реку Нижний Флат, протекающую с юга на север через территорию страны. В связи с финансовым кризисом средства строителей существенно ограничены, поэтому решено было построить мост минимальной возможной длины.

Введем координатную систему таким образом, чтобы ось OY была направлена с юга на север, а ось OX с запада на восток. Берега реки представляют собой ломаные, бесконечные в обе стороны. Левый берег начинается лучом, направленным на юг из точки (x1,1,y1,1), продолжается отрезками (x1,1,y1,1) − (x1,2,y1,2), (x1,2,y1,2)− (x1,3,y1,3), ..., (x1,m−1,y1,m−1) − (x1,m,y1,m) и заканчивается лучом, направленным на север из точки (x1,m,y,m).

Аналогично, правый берег реки начинается лучом, направленным на юг из точки (x2,1,y2,1), продолжается отрезками (x2,1,y2,1) − (x2,2,y2,2), (x2,2,y2,2) − (x2,3,y2,3), ..., (x2,n−1,y2,n−1) − (x2,n,y2,n) и заканчивается лучом, направленным на север из точки (x2,n,y2).

Помогите руководству Флатландии выяснить, мост какой минимальной длины можно построить.

«Кто ходит в гости по утрам, тот поступает мудро…»

Пятачок и Винни-Пух каждое утро ходят пить чай в гости к Кролику. Естественно, самым коротким путем.

К сожалению, однажды Винни-Пуху пришла в голову идея вырыть ловушку для Слонопотама. Самое обидное, что они с Пятачком ее даже вырыли. Поэтому теперь каждое утро, идя в гости к Кролику, они боятся в нее провалиться.

Напишите программу, которая посчитает длину самого короткого безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика.

Ловушка для Слонопотама представляет собой яму абсолютно круглой формы. Путь является безопасным, если он не проходит по ловушке (но может проходить по ее границе).

Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, которое сохраняет попарные расстояния между точками, то есть если A₁ и B₁ – образы некоторых точек A и B при движении, то |A₁B₁| = |AB|.

Одной из разновидностей движения плоскости является скользящая симметрия. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть нулевым). На рисунке показан пример применения скользящей симметрии к отрезку.

Известно, что любой отрезок можно перевести в любой другой отрезок такой же длины с помощью скользящей симметрии.

Требуется по координатам двух различных точек A и B и двух точек A₁ и B₁, находящихся на таком же расстоянии друг от друга, как и точки A и B, найти скользящую симметрию, переводящую точку A в точку A₁, а точку B в точку B1.

На координатной плоскости расположены равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с длиной катета d и точка X. Катеты треугольника лежат на осях координат, а вершины расположены в точках: A (0,0), B (d,0), C (0,d).

Напишите программу, которая определяет взаимное расположение точки X и треугольника. Если точка X расположена внутри или на сторонах треугольника, выведите 0. Если же точка находится вне треугольника, выведите номер ближайшей к ней вершины.

На новой станции метро, которую планируют открыть в конце этого года, будет N эскалаторов (эскалаторы пронумерованы подряд числами от 1 до N). Эскалаторы имеют длину L и расположены на расстоянии H друг от друга. Шириной эскалатором пренебрежем. Между каждыми двумя соседними эскалаторами (точно посередине) будет установлен ряд ламп. В ряду будет K ламп. Лампы устанавливаются по следующему принципу: всю длину эскалатора L разбивают на K равных отрезков и в середине каждого отрезка устанавливают по лампе (см. рисунок). Всего будет установлено (N–1)*K ламп.

На приведенном рисунке N=4 (эскалаторы показаны жирными <горизонтальными линиями), L=20, H=4, K=5.

Васе удалось проникнуть на эту станцию еще до ее открытия, и даже прокатиться на эскалаторе. Он выбрал эскалатор номер J. Посчитайте, в скольких точках эскалатора (включая его начало и конец) Вася будет видеть не все лампы (так как их будут загораживать другие лампы).